Universit´e Mohammed V Ann´ee Universitaire: 2020-2021 Facult´e des Sciences de Rabat Sciences de la Mati`ere Physique 5
D´epartement de Physique SMP5
Travaux Dirig´es de Physique Quantique S´erie 4
Moment cin´etique
Exercice 1: Composantes du moment cin´etique J = 3/2
On consid`ere un syst`eme quantique de moment cin´etique J = 32. On se place dans la base des vecteurs propres de Jz . D´eterminer les matrices repr´esentant les op´erateurs J+ et J− et en d´eduire les matrices repr´esentant les observablesJx etJy.
Exercice 2: Moment cin´etique quadrupolaire
On consid`ere un syst`eme de moment cin´etiqueℓ= 1; une base de son espace des ´etats est con- stitu´ee par les trois vecteurs propres deLz: |1>, |0>,| −1>, de valeurs propres respectives +~, 0,−~, et tels que : L± |0>=~√
2|m±1>,L+|1>=L−| −1>= 0.
Ce syst`eme, qui poss`ede un moment quadripolaire ´electrique, est plong´e dans un gradient de champs ´electrique, de sorte que son hamiltonien s’´ecrit : H = ω~0(L2u−L2v) o`uLu etLv sont les composantes de~Lsur les deux directionsOu etOvdu plan xOz, `a 45 deOxetOz;ω0 est une constante r´eelle.
1- Ecrire la matrice repr´esentant H dans la base {| 1 >, | 0 >, | −1 >}. Quels sont les ´etats stationnaires du syst`eme, et leurs ´energies? (Ces ´etats seront not´es : | E1 >, |E2 >, |E3 >, rang´es par ordre d’´energies d´ecroissantes).
2- A l’instant t = 0, le syst`eme est dans l’´etat : | ψ(0) >= √1
2(| 1 > − | −1 >). Quel est le vecteur d’´etat|ψ(t) > `a l’instantt? A cet instant, on mesure Lz; quelles sont les probabilit´es des diff´erents r´esultats possibles?
3- Calculer les valeurs moyennes < Lx >(t), < Ly >(t) et < Lz >(t) `a l’instantt. Quel est le mouvement effectu´e par le vecteur< ~L > ?
4- On effectue `a l’instantt une mesure deLz.
a. Existe-t-il des instants o`u un seul r´esultat est possible ? b. On suppose que cette mesure a donn´e le r´esultat~/2. Quel est l’´etat du syst`eme imm´ediatement apr`es la mesure ? Indiquer, sans calcul, son ´evolution ult´erieure.
Exercice 3: Moment orbital
On consid`ere un syst`eme de moment orbitaleL~ et dont l’hamiltonien estH = L+~L−.
A l’instantt= 0, l’´etat du syst`eme est d´ecrit par la fonction d’ondeψ(θ, ϕ) =c(1 + cosθsinϕ).
1- D´eterminer la constante cpour que la fonction d’ondeψ(θ, ϕ) soit norm´ee.
2- D´evelopper cette fonction d’onde en fonction des harmoniques sph´eriques.
3- D´eterminer la fonction d’ondeψ(θ, ϕ, t) `a l’instant t.
4- Donner les r´esultats, avec les probabilit´es correspondantes, qu’on peut trouver lors d’une mesure de Lz. Trouver la fonction d’onde d´ecrivant l’´etat de la particule juste apr`es cette mesure.
On donne les harmoniques sph´eriques:
Y00(θ, ϕ) = 1
√4π , Y1±1(θ, ϕ) =∓ r 3
8π sinθe±iϕ 1
Exercice suppl´ ementaire
Moment orbital -Partie A
On consid`ere un syst`eme d’hamiltonienH et de moment orbital ~Ldont l’espace des ´etatsξ est engendr´e par la base{| k, ℓ, m >}o`ukest le nombre quantique associ´e `aHetℓ , mles nombres quantiques associ´es respectivement `aL2 etLz.
1- Sachant que dans la repr´esentation | ~r > la fonction d’onde du syst`eme est donn´ee par ψk,ℓ,m(r, θ, ϕ) = f(r)Yℓm(θ, ϕ), d´eterminer les ´equations diff´erentielles satisfaites par Yℓm(θ, ϕ).
En d´eduire que:
Yℓm(θ, ϕ) =Fℓm(θ)Zm(ϕ) o`uZm(ϕ) est une fonction `a d´eterminer.
2- Quelles sont les valeurs que peut prendreℓ etm Justifiez votre r´eponse.
3- CalculerYℓℓ(θ, ϕ).
4- Montrer que:
(L−)ℓ−mYℓℓ(θ, ϕ) = (~)ℓ−mp
2ℓ×2(2ℓ−1)×...×(ℓ−m)(ℓ+m+ 1)Yℓm(θ, ϕ) En d`eduire que:
Yℓm(θ, ϕ) =
s (ℓ+m)!
(2ℓ)!(ℓ−m)!
L−
~ ℓ−m
Yℓℓ -Partie B
Le syst`eme physique est d´ecrit par le vecteur d’´etat |ψ > dont la fonction d’onde est donn´ee par :
ψ(~r) =a(r)(Y2−2(θ, ϕ) +Y10(θ, ϕ) +Y00(θ, ϕ)) +b(r)(Y30(θ, ϕ) +Y2−1(θ, ϕ) +Y11(θ, ϕ)) 1- Donner la condition que doivent satisfaire les fonctions a(r) et b(r) pour que | ψ > soit norm´e.
2- Donner les r´esultats, avec les probabilit´es correspondantes, qu’on peut trouver lors d’une mesure deLz. Mˆeme question pourL2. En d´eduire les valeurs moyennes deL2z etL2 dans l’´etat
|ψ >.
3- Calculer la probabilit´e pour qu’une mesure simultan´ee deL2 etLzsur la particule dans l’´etat
|ψ >donne le r´esultat (6~,−~).
4- On mesure Lz, le r´esultat trouv´e est 0~. Trouver la fonction d’onde d´ecrivant l’´etat de la particule juste apr`es cette mesure.
5- Si la fonction d’onde est donn´ee par
ψ(~r) =C(r)(1 +p
sin(θ) cos(ϕ))
5-1 Donner la condition que doit satisfaire la fonction r´eelleC(r) pour que l’´etatψ(~r) soit norm´e.
5-2 Donner les r´esultats, avec les probabilit´es correspondantes, qu’on peut trouver lors d’une mesure deLz.
On donne:
L+=~eiϕ(∂θ∂ +icotgθ∂ϕ∂ ) L−=~e−iϕ(−∂θ∂ +icotgθ∂ϕ∂ ) Lz=−i~ ∂
∂ϕ L2 =−~2(∂θ∂22 +tgθ1 ∂θ∂ +sin12θ
∂2
∂ϕ2)
2
