UTBM - MT32 FINAL 21 Janvier 2008 Exercice 1 : Int´egrale double

UTBM - MT32 FINAL 21 Janvier 2008

Exercice 1 : Int´egrale double Les questions 2 et 3 sont ind´ependantes.

1. Tracer le domaine Ω d´efini par :

Ω = {(x, y) ∈ ℜ tel que y > 0 ;x−y+ 1 > 0 ;x+ 2y−4 < 0}

2. Calculer la surface du domaine Ω.

3. D´eterminer l’´equation du cercle de centreI(−1; 2) et qui passe par le point A(1; 2).

4. D´eterminer l’´equation du cercle de centreI(−1; 2) et qui passe par le point B(2;−2).

5. D´eterminer l’´equation de la couronne d´elimit´ee par ces deux disques.

6. Calculer la surface de cette couronne.

Exercice 2 : D´eveloppements limit´es

1. Soit la fonctionf d´efinie par :

f(x) = e^2x 1 +x

(a) Donner le d´eveloppement limit´e def au voisinage dex= 0 `a l’ordre 2.

(b) Sans repr´esenter la courbe de f donner, en utilisant la question pr´ec´edente, une ´equation de la tangente `a la courbe de cette fonction au point d’abscissex= 0.

2. Soit la fonctiong d´efinie par :

g(u) = e^2u u

(a) Donner le d´eveloppement limit´e de gau voisinage deu= 1 `a l’ordre 2.

(b) Sans repr´esenter la courbe de g donner, en utilisant la question pr´ec´edente, une ´equation de la tangente `a la courbe de cette fonction au point d’abscisseu= 1.

1

Exercice 3 : Int´egrales simples On pose pour tout entierndeN^∗ : In =

Z 2 1

dx x(xⁿ+ 1) 1. Montrer que pour tout entier non nulIn existe.

2. On se propose de calculer tout d’abordI3:

I3 = Z 2

1

dx x(x³+ 1) Poseru=x³et montrer I3 peut s’´ecrire :

I3 = 1 3

Z 2³ 1

du u(u+ 1)

3. D´ecomposer en ´el´ements simple la fraction suivante : _u(u¹₊₁₎ 4. En d´eduire la valeur deI3.

5. En adaptant la m´ethode pr´ec´edente, calculerIn.

Exercice 4 : Inverse d’une matrice et r´eduction d’endomorphisme Soit la matriceAd´efinie par :

A =





1 −4 0

−4 5 0

0 0 3





1. Calculer la trace (somme des ´el´ements diagonaux) de la matriceA.

2. Calculer le d´eterminant de la matriceA.

3. D´eterminer l’inverse de la matriceA.

4. D´eterminer les valeurs propres de la matriceA.

5. D´eterminer les vecteurs propres associ´es.

6. Ces vecteurs propres forment-ils une base de l’espace d’´etude ?

7. Ecrire la matriceAdans la base des vecteurs propres, on note cette nou- velle matriceD.

8. Calculer la trace de la matriceD. Que constatez-vous ? Expliquez.

9. Calculer le d´eterminant de la matriceD. Que constatez-vous ? Expliquez.

10. On pose : B = α tr(A)I+β A. Calculer les valeurs propres de la matrice B.

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