UTBM - MT32 FINAL 20 Janvier 2009
1. R´esoudre dansRl’´equation :
x4 − 1 = 0
2. D´eterminer le domaine de d´efinition de la fonction donn´ee par : f(x) = x2
x4−1 3. D´ecomposer en ´el´ements simples la fonctionf.
4. En d´eduire une primitive def sur le domaine de d´efinition.
Dans la suite cet exercice on cherche `a calculer l’int´egrale suivante : I =
Z 1/3 1/8
1 2x+ 1
rx+ 1 x dx 5. On poseu(x) =q
x+1
x , exprimerxen fonction deu.
6. Calculerdxen fonction dedu.
7. Montrer que l’int´egraleIpeut s´ecrire, apr`es changement de variables, sous la forme :
I = α Z b
a
u2 u4 − 1du Donner les valeurs dea,bet α.
8. D´eterminerI.
1
Exercice 2 : Matrice Soient les matrices suivantes :
A =
1 −1 0
−1 0 1
B =
1 −1 3
1 0 4
−3 −4 2
C =
0 −1 3
−1 0 4
3 4 0
D =
1 1 3 0 0 4 0 0 2
E =
1 0 0
0 0 0
0 0 −2
Remplir le tableau suivant en r´epondant par oui ou non.
Remarque : Chaque bonne r´eponse (+1) point, mauvaise r´eponse (−1) point et pas de r´eponse (0) point.
A B C D E
matrice sym´etrique matrice antisym´etrique matrice triangulaire sup´erieure matrice triangulaire inf´erieure matrice diagonale
2
Exercice 3 : R´eduction d’endomorphisme 1ere Partie :
Soit l’applicationf deR3 dansR3d´efinie par : f(x , y , z) = (y , x , z) 1. f est-elle un endomorphisme ?
2. Donner la matrice def dans la base canonique not´ee,B= (e1, e2, e3).
3. f est-elle bijective ?
4. Calculer la trace de cette matrice.
5. Calculer l’inverse de cette matrice.
6. Quelle pourrait-ˆetre la nature g´eom´etrique def ?
2eme Partie :
On donne la matriceAdans la base canonique :
A =
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1. Calculer la trace deA.
2. Calculer le d´eterminant deA.
3. D´eterminer les valeurs propres de la matriceA.
4. D´eterminer les vecteurs propres associ´es.
5. Ces vecteurs propres forment-ils une base de l’espace d’´etude ?
6. Ecrire la matriceAdans la base des vecteurs propres, on note cette nou- velle matriceD.
7. Calculer la trace de la matriceD. Que constatez-vous ? Expliquez.
8. Calculer le d´eterminant de la matriceD. Que constatez-vous ? Expliquez.
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