1 Premier exercice

U.E. Biologie Mathématique et Modélisation Master "Santé-Populations" - M1

Épreuve écrite - Printemps 2007/2008 Eléments de correction

1 Premier exercice

½ _dx

dt =y

dy

dt =−2x+µy−x²y−x³

1.1

Un seul et unique point d’équilibre (0,0).

1.2

La matrice Jacobienne au point d’équilibre s’écrit : J=

µ 0 1

−2 µ

¶

On obtient facilementdet(J) = 2>0ettr(J) =µ. Le déterminant est>0et la trace change de signe, on peut soupçonner une bifurcation de Hopf. La valeur de bifurcation estµ^∗ = 0.

1.3

∆ =µ²−8 Par conséquent, le discriminant est < 0 pour µ ∈]−2√

2; 2√

2[. Ainsi, dans cet intervalle de valeur pourµ, les valeurs propres deJsont complexes conjuguées :

λ_1,2= µ 2 ±i

p|µ²−8|

2

La partie réelle des valeurs propres s’annule pourµ^∗ = 0 et ^dRe(λ)_dµ = ¹₂ >0.

La partie imaginaire des valeurs propres vaut √

2lorsque µ^∗ = 0.

Les conditions du théorème de Poincaré-Andronov-Hopf sont donc vérifiées.

1.4

On se place à la bifurcation µ^∗ = 0.

Reste à étudier la stabilité du point d’équilibre à la bifurcation. Pour cela, on calcule l’indice de Marsden-McCracken. Pour cela, il faut d’abord mettre la matriceJ sous la bonne forme :

µ 0 ω ω^∗ 0

¶

1

Il faut donc faire un changement de variables en passant dans la base des vecteurs propres. Les valeurs propres sont λ_1,2 =±i√

2. Recherchons les vecteurs propres.

On chercheV = (α, β)tel que JV =λV : µ 0 1

−2 0

¶ µ α β

¶

=i√ 2

µ α β

¶

⇔β =i√ 2α

On prend donc :

V = µ 1

i√ 2

¶

= µ 1

0

¶ +i

µ √0 2

¶

Ainsi, la matrice de passage s’écrit : P=

µ 1 0 0 √ 2

¶

avec P⁻¹ =

µ 1 0 0 1±√

2

¶

Finalement, en calculant ˜J=P⁻¹JP, il vient :

˜J=

µ 0 √ 2

−√ 2 0

¶

Soitω^∗ =√

2. Le changement de variables à faire est doncY =P X avec X= (x, y) etY = (u, v) : (

˙ u=√

2v

˙ v=−√

2u− ^√1

2u³−u²v

On calcule maintenant les dérivées successives intervenant dans le calcul de l’indice : f_u= 0

g_u =−√ 2− ^√3

2u²−2uv g_uu=−^√6

2u−2v g_uuv=−2 g_v =−u² g_vv= 0 g_uv=−2u

Toutes les dérivées en u sont nulles.Il vient finalement I = −2√

2. I eset < 0 ce qui signifie que le point d’équlibre (0,0)à la bifurcation est asymptotiquement stable. Il s’agit donc d’une bifurcation de Hopf supercritique.

1.5 Diagramme de bifurcation

2

2 Second exercice

On considère la matrice de jeu suivante : A=



 0 −1 −1

1 0 1

−1 1 0





2.1

Le gain moyen vaut ∆ = 2yz−2xz. Le système complet s’écrit :





˙

x=x[−y−z−2z(y−x)]

˙

y=y[x+z−2z(y−x)]

˙

z=z[−x+y−2z(y−x)]

2.2

En remplaçant zpar1−x−y on obtient facilement :

½ x˙ =−x[1−x+ 2(y−x)(1−x−y)]

˙

y =y[1−y−2(y−x)(1−x−y)]

2.3

Il y a 5 points d’équilibre : (0,0),(1,0),(0,1),(1/2,0),(0,1/2). La matrice jacobienne du système s’écrit :

J=

µ −1 + 6x−6x²−2y+ 2y² −2x+ 4xy 2y−4xy 1−6y+ 6y²+ 2x−2x²

¶

On détermine ainsi la stabilité des différents points d’équilibre : – J_(0,0)=

µ −1 0 0 1

¶

:(0,0)est un Point Selle – J_(1,0)=

µ −1 −2

0 1

¶

:(1,0)est un Point Selle – J_(0,1)=

µ −1 0 2 1

¶

:(0,1)est un Point Selle – J_(1/2,0) =

µ 1/2 −1 0 3/2

¶

:(1/2,0)est un Noeud Instable – J_(0,1/2) =

µ −3/2 0 1 −1/2

¶

:(0,1/2)est un Noeud Asymptotiquement Stable

2.4

Voir page suivante.

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