1) Matrices de passage - changement de base pour les vecteurs

CHANGEMENTS DE BASES EN ALGEBRE LINEAIRE APPLICATIONS

E et f désignent des K espaces vectoriels de dimension finies

1) Matrices de passage - changement de base pour les vecteurs

définition

Soient )e=(e₁,...,e_n et e'=(e'₁,...,e'_n) deux bases de E. La matrice

n j

n i j

pi

P

≤

≤≤

= ≤ 1

)1

( définie par : )

' ( ,

,j N_n p_ij e_i^* e _j

i ∈ =

∀ est appelée matrice de passage de e à e'.

∑

≤

≤ ∈ =

∃

∈

∀ ⁿ

k k j k j

n n k j k

n a K e a e

N j

1

1 , '

) (

!

, (car e est une base de E).

donc 



 



= 

∈

∀

∑

= n

k k j k i j i

n p e a e

N j i

1

, *

,

∑

=

= ⁿ

k

k i j

k e e

a

1

*( )

∑

=

δ

= ⁿ

k

k i j

ak 1

=a_ij

conséquence :

∑

=

=

∈

∀ ⁿ

k k j k j

n e a e

N j

1

'

, donc P=mat(id_E;e',e) et p est inversible (car id_E est bijective).

proposition

Soient )e=(e₁,...,e_n et e'=(e'₁,...,e'_n) deux bases de E. Si P est la matrice de passage de e à e', alors P⁻¹ est la matrice de passage de e' à e.

démonstration ) , '

; (id e e mat

P= _E .

Soit Q la matrice de passage de e' à e. )Q=mat(id_E;e,e' .

n

E e e I

id

mat( ; , )= et mat(id_E;e',e')=I_n, I_n désignant la matrice identité d'ordre n.

Or, mat(vou;e,g)=mat(v;f,g)×mat(u;e,f)

Donc )mat(id_E;e,e)=mat(id_E;e',e)×mat(id_E;e,e' et )

, '

; ( ) ' ,

; ( )

' , '

;

(id e e mat id e e mat id e e

mat _E = _E × _E , c'est-à-dire, sachant que mat(id_E;e,e)=I_n et

n

E e e I

id

mat( ; ', ')= , I_n =PQ et I_n =QP.

P est donc inversible (on le savait déjà) et Q=P⁻¹.

proposition

Soient )e=(e₁,...,e_n et e'=(e'₁,...,e'_n) deux bases de E. Soient x∈E, X =mat(x;e), )

'

; ( ' mat x e

X = et p la matrice de passage de e à e'. Alors X =PX'. démonstration

∑

≤

≤ ∈ =

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K x xe

x

1

1 ,

) (

! ,

















= xn

x

X M

1

.

∑

≤

≤ ∈ =

∃ ⁿ

i i i n

n i

i K x x e

x

1

1 , ' ' '

) ' (

! ,

















= xn

x X

' ' '

1

M .

Notons

n j

n i j

pi

P

≤

≤≤

= ≤ 1

)1

( . D'après ce qui précède, on a :

∑

=

=

∈

∀ ⁿ

k

k j k j

n e p e

N j

1

'

, .

∑

= ⁿ

i i ie x x

1

' '

∑ ∑

= =



 



= ⁿ 

i

n

k i i k

i p e

x

1 1

'

∑ ∑

= =



 



= ⁿ 

i

i n

k

i k

i p e

x

1 1

' (distributivité, associativité de l'addition)

Or la décomposition de x dans la base e est unique donc :

∑

=

=

∈

∀ ⁿ

k

i k i i

n x x p

N i

1

'

, .

Donc 'X =PX .

2) Changement de base d'une application linéaire

On considère E de dimension p et F de dimension n.

proposition

Soient )e=(e₁,...,e_p et e'=(e'₁,...,e'_p) deux bases de E, f =(f₁,...,f_n) et f'=(f'₁,...,f'_n) deux bases de F. Soient u une application linéaire de E dans F, A=mat(u;e,f) et A'=mat(u;e',f'). Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'. Alors A'=Q⁻¹AP.

démonstration

Soit x∈E. Soient X =mat(x;e) et X'=mat(x;e'). On a X =PX'.

Soit y=u(x). y∈F . Soient Y =mat(y;f) et Y'=mat(y;f'). On a Y =QY'. Or )y=u(x donc Y =AX et Y'=A'X'.

AX

Y = donc QY'=A'PX'. Q étant inversible, on a : Y'=Q⁻¹A'PX'. Comme Y'= A'X' et que la matrice de u relativement aux bases e' et f' est unique, il en résulte que A'=Q⁻¹AP.

théorème et définition

On définit sur M_np(K) une relation binaire par :

AP Q B K GL Q K GL P B A K M B

A, ∈ _np( ), ℜ ⇔∃ ∈ _p( ),∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∀ . _ℜ est une relation

d'équivalence. Si AℜB, on dit que A et B sont des matrices équivalentes.

démonstration

• ∀A∈M_np(K),A=I_n⁻¹AI_p donc AℜA;

• Soient )A,B,C∈M_np(K telles que AℜB et BℜC. AP

Q B K GL Q K GL

P∈ _p( ),∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∃ .

BR S C K GL S K GL

R∈ _p( ),∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∃ .

Donc C =S⁻¹(Q⁻¹AP)R

=(S⁻¹Q⁻¹)A(PR) (associativité qu produit matriciel) =(QS)⁻¹A(PR) avec QS∈GL_n(K) et PR∈GL_p(K). Donc AℜC.

• Soient )A,B∈M_np(K telles que AℜB. AP Q B K GL Q K GL

P∈ _p( ),∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∃ . Donc A=QBP⁻¹ =(Q⁻¹)⁻¹BP⁻¹, avec Q⁻¹∈GL_n(K) et )

1 (

K GL P⁻ ∈ _p . Donc BℜA.

lemme

Soit u une application linéaire de E dans F, de rang r. Alors il existe une base e de E et une base f de F telle que:

























=

0 0 0 0

0 0

1

0 0 1

) ,

; (

L L L

M M M M

M M L

M M O

L L

f e u

mat (matrice à n lignes, p colonnes, il y a r fois le chiffre 1). Notons

cette matrice J_n,p,r. démonstration

D'après le théorème du rang, dim(Ker(u))=n−r

Soit )(e_r+1,...,e_p une base de Ker(u). D'après le théorème de la base incomplète, il existe tels que )

,...,

(e₁ e_p soit une base de E. Montrons qu'alors (u(e₁),...,u(e_r)) est une base de Im(u) :

• Soit )y∈Im(u).∃x∈E,y=u(x

∑

≤

≤ ∈ =

∃ ^p

i i i p

p i

i K x xe

x

1

1 ,

)

( .





=

∑

= p

i i ie x u y

1

∑

=

= ^p

i

i iu e x

1

) (

∑

=

= ^r

i

i iu e x

1

)

( (car ∀j∈N,r+1≤ j≤ p,u(ej)=0)

donc ))(u(e₁),...,u(e_r est une famille génératrice de Im(u).

• Soit (x_i)_1≤i≤r∈K^r tel que

∑

= r =

i

i iu e x

1

0 )

( .

Alors 0

1

=



 





∑

= r

i i ie x

u donc ( )

1

u Ker e x

r

i i

i ∈

∑

donc il existe (x_i)_r+1_≤i≤p∈K^p−r tel que

∑

∑

= ^p

r i

i i r

i i

ie xe

x

1 1

.

Donc

∑ ∑

= =+

=

r −

i

p

r i

i i i

ie xe

x

1 1

0 donc tous les x_i sont nuls car e est une base de E donc (u(e₁),...,u(e_r)) est une famille libre de Im(u). C'est donc une base de Im(u).

• Soit (f_i)1_≤i≤r∈F^r définie par : ∀j∈N_r, f_j =u(e_j). On vient de voir que (f_i)_1≤i≤r est une famille libre de F donc, d'après le théorème de la base incomplète, il existe f_r+1,...,f_n∈F tels que )(f₁,...,f_n soit une base de F. Alors mat(u;e,f) est de la forme souhaitée.

théorème

Deux matrices de M_np(K) sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

démonstration

• Soient )A,B∈M_np(K deux matrices équivalentes.

AP Q B K GL Q K GL

P∈ _p( ),∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∃ .

) ( )

(Q ¹AP rg AP

rg ⁻ = (car Q⁻¹ est inversible : voir chapitre "rang en algèbre linéaire") =rg(A) (car P est inversible)

Donc )rg(B)=rg(A

• Soient )A,B∈M_np(K telles que rg(B)=rg(A).

Soit u l'endomorphisme de K^p dans Kⁿ canoniquement associé à A. Soient e=(e₁,...,e_p) la base canonique de K^p et f =(f₁,...,f_n) la base canonique de Kⁿ. mat(u;e,f)=A

r u

rg( )= donc, d'après le lemme, il existe une base e'=(e'₁,...,e'_p) de E et une base )

' ,..., ' (

' f ₁ f _n

f = de F telles que mat(u;e,f)=J_n,p,r. Soient P la matrice de passage de e à e' et Q la matrice de passage de f à f'. Alors J_n,p,r =Q⁻¹AP donc AℜJ_n,p,r. De même on montre que

r p

Jn

Bℜ _{, ,} . Par transitivité de la relation d'équivalence, on a : AℜB. A et B sont donc équivalentes.

3) Changement de base d'un endomorphisme

E désigne dans ce paragraphe un K espace vectoriel de dimension n (n∈N^*).

Les résultats suivants découlent directement du paragraphe 2.

proposition

Soient )e=(e₁,...,e_n et e'=(e'₁,...,e'_n) deux bases de E. Soient u un endomorphisme de E, )

; (u e mat

A= et A'=mat(u;e'). Soit P la matrice de passage de e à e'. Alors A'=P⁻¹AP.

théorème et définition

On définit sur M_n(K) une relation binaire par : AP P B K GL P B A K M B

A, ∈ _n( ), ℜ ⇔∃ ∈ _n( ), = ⁻¹

∀ . ℜ est une relation d'équivalence. Si AℜB, on

dit que A et B sont des matrices semblables.

théorème

Deux matrices de M_n(K) sont semblables si et seulement si elles ont le même rang.

Application à la réduction des endomorphismes

Pour ce qui suit, on se reportera aux démonstrations des chapitres "endomorphismes diagonalisables" et "trigonalisation des endomorphismes".

théorème

Soit u un endomorphisme de E. u est diagonalisable si et seulement si χ_u est scindé fans K[X] et pour toute valeur propre λ, dim(E_u(λ))=m, m étant la multiplicité de la valeur propre λ.

théorème

Soit u un endomorphisme de E. u est trigonalisable si et seulement si χ_u est scindé dans K[X].

application

Etude des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 : (u_n) définie par :





+

=

≥

∀

∈

+

+ n n

n au bu

u n

K u u

1 2

1 0

, 2

, .

4) Changement de base d'une forme bilinéaire

proposition

Soient E un K espace vectoriel de dimension n∈N^*, e et e' deux bases de E. Soient F un K espace vectoriel de dimension p∈N^*, f et f' deux bases de F. Soient φ une forme bilinéaire sur E×F,

) ,

; ( e f mat

A= φ et A'=mat(φ;e',f'). Soient P la matrice de passage de e à e', Q celle de f à f'.

Alors A'=^tPAQ. démonstration

Soient x∈E, X =mat(x;e) et X'=mat(x;e'). Soient y∈E, )Y =mat(y; f et Y'=mat(y;f').

' PX

X = et Y =QY'

XAY y

x =^t

φ( , ) et φ(x,y)=^tX'A'Y' )

' ( ) ' (PX AQY XAY ^t

t =

=(^tX'^tP)A(QY') (propriété de la transposée) =^tX'(^tPAQ)Y' (associativité du produit matriciel)

Donc '∀X'∈M_n1(K),∀Y'∈M_p1(K), ^tX'A'Y'=^tX'(^tPAQ)Y donc A'=^tPAQ.

proposition

Soient E un K espace vectoriel de dimension n∈N^*, e et e' deux bases de E. Soient q une forme quadratique sur E, A=mat(q;e) et A'=mat(q;e'). Soit P la matrice de passage de e à e'. Alors

PAP A'=^t . démonstration

C'est un cas particulier du cas précédent avec P=Q, A étant la matrice de la forme bilinéaire associée à q dans la base e, A' celle de q dans la base e'.