DM0 de mathématiques

DM 0 Lycée Jacques Prévert

DM0 de mathématiques

Problème

Le but de ce problème est d’étudier quelques propriétés de la moyenne arithmético-géométrique et de l’exprimer à l’aide d’une intégrale. La partie 2 n’utilise que la première question de la partie 1.

Partie 1 Moyenne arithmético-géométrique.

Étant donnés deux réels a, b strictement positifs, on définit les suites (an)_n∈N et (bn)_n∈N par a0 = a, b0 =b et pour toutn∈N,an+1 = ^an+b₂ ⁿ etbn+1 =√

anbn. 1. (a) Soient 0< x6y. Montrer que x6√

xy 6 ^x+y₂ 6y.

(b) Montrer que (a_n)_n>1 et (b_n)_n>1 sont adjacentes. On note µ(a, b) leur limite commune (qu’on ne cherchera pas à calculer).

2. Écrire une fonction Scilab qui prend en paramètres d’entrée deux réels aetb strictement positifs et retourne leur moyenne arithmético-géométrique calculée à une précision de 10⁻¹⁰ près.

3. Montrer que pour tous réelsa, a⁰, b strictement positifs on a les propriétés suivantes : (a) µ(a, b) =µ(b, a).

(b) ∀λ >0, µ(λa, λb) =λµ(a, b).

(c) µ√

ab,^a+b₂ =µ(a, b).

(d) a6a⁰ ⇒µ(a, b)6µ(a⁰, b).

(e) µ(a, b)>√ ab.

4. On définit la fonctionf sur R^∗+ parf(x) =µ(x,1). Montrer les propriétés suivantes : (a) f est croissante surR^∗+.

(b) f(1) = 1.

(c) ∀x >0, f_x¹= ^f(x)_x . (d) ∀x >0, ^1+x₂ f²

√x 1+x

=f(x).

5. (a) Soitgune application croissante de R^∗+dansRtelle que la fonctionx7→ ^g(x)_x est décroissante.

Montrer queg est continue.

Indication : on pourra admettre qu’une fonction monotone admet des limites à gauche et à droite en tout point de son domaine de définition.

(b) En déduire quef est continue.

6. (a) Montrer quef admet une limite (que l’on calculera) en +∞.

(b) Montrer quefadmet une limiteL(que l’on calculera) en 0. On notera encoref le prolongement par continuité def en 0.

(c) Montrer que x7→ ^f(x)_x admet une limite (que l’on calculera) en +∞. Que peut-on en déduire concernant la courbe représentative de f?

(d) Montrer que x7→ ^f(x)−L_x admet une limite (que l’on calculera) en 0. Que peut-on en déduire concernant la courbe représentative de f?

Partie 2 Intégrale elliptique de première espèce.

Soit k∈[0,1[. On appelle intégrale elliptique de première espèce le réelφk= Z ^π₂

0

√ ds

1−k²sin²s. On garde les notations de la partie 1 et on suppose désormais (et dans toute la suite du problème) que 0< b6a. On poseI(a, b) =

Z ^π

2

0

√ dt

a²cos²t+b²sin²t.

1. Montrer queφ: [0,1[→Rdéfinie par φ(k) =φ_k est croissante.

2. Soitu:0,^π₂→Rdéfinie par u(t) = arcsin^{(1+k) sin}_1+ksin2t^t

.

BCPST2 1/ 2 2011-2012

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(a) Montrer queu est une application bien définie et à valeurs dans0,^π₂. (b) Démontrer que pour tout t∈0,^π₂on a cos(u(t)) = _1+k^cos_sin^t2t

√

1−k²sin²t.

(c) Montrer que u est de classe C¹. On pourra pour cela dériver sin(u(t)) afin de calculer un équivalent de u⁰(t) en ^π₂.

(d) Montrer queu est bijective de0,^π₂ dans0,^π₂. (e) Montrer queu⁻¹ est de classeC¹.

3. En utilisant le changement de variables=u(t) montrer que φ²

√ k 1+k

= (1 +k)φ(k).

4. Montrer queI(a, b) = _a¹φ

√ a²−b²

a

et que I(a, b) =I^a+b₂ ,√ ab. Partie 3 Expression deµ(a, b) à l’aide d’une intégrale.

On garde les notations de la partie 1 et on suppose toujours que 0< b6a.

1. Montrer que pour toutn∈N,I(a_n, b_n) =I(a, b).

2. Montrer queφest continue en 0. En déduire une expression deµ(a, b) à l’aide d’une intégrale.

3. Si on retire l’hypothèseb6a, comment exprimer µ(a, b) à l’aide d’une intégrale ?

Exercice

On se propose de prouver queπ est irrationnel.

1. Soit g ∈ Z[X] et n ∈ N^∗, on considère la fonction polynomiale h : R → R définie par h(x) = ^xn_n!^g(x). Montrer que pour tout entier naturel k,h^(k)(0) est un entier.

2. On suppose que π² est rationnel et on pose π² = ^a_b avec a, b ∈ N^∗. Pour tout n ∈ N^∗ on pose fn : [0,1]→Rdéfinie par f_n(x) = ^xn(1−x)_n! ⁿ etI_n=πaⁿ

Z 1 0

f_n(x) sin(πx)dx.

(a) Montrer que pour tout entier naturel k, fn^(k)(1) = (−1)^kfn^(k)(0). Que peut-on en déduire sur fn^(k)(1) ?

(b) Montrer que lim

n→+∞In= 0.

(c) Montrer que I_n est un entier. On pourra pour cela, montrer par récurrence descendante que pour tout entier naturel k,πaⁿ

Z 1 0

f_n^(2k)(x)sin(πx)

π^2k dxest un entier.

(d) Conclure.

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