CORRECTION DES EXERCICES 103, 133, 134 ET 135 A FAIRE PENDANT LE COURS DU JEUDI 7 MAI

CORRECTION DES EXERCICES 103, 133, 134 ET 135 A FAIRE PENDANT LE COURS DU JEUDI 7 MAI

103 page 196.

f est définie sur par f(x) x 3 e^3x

La fonction semble décroissante sur . Pour en être sûr, il faut étudier ses variations en cherchant le signe de sa dérivée.

Pour tout x de , e^3x est non nul donc f est définie et dérivable sur . Pour tout x de , f (x) 1 e^3x (x 3) 3e^3x

(

)

e^3x(1 (x 3)3)

(

)

e^3x(1 3x 9) e^{3x 2}

e^3x( 3x 8) e^6x On peut construire le tableau :

x 8

3

3x 8 0 pour x 8

3 et a 3 0 donc puis f

 8

3 994 3x 8

signe de f (x)

variations de f 994

La fonction f n est donc pas décroissante sur mais sur



 8

3 .

A la calculatrice, en choisissant x de 4 à 4 et y de 5 à 1000, on obtient :

ce qui confirme notre tableau de variations.

133 page 202.

(E) : y 2y 0

1. g est définie sur par g(x) e^2x.

g est dérivable sur . Pour tout réel x, g (x) 2e^2x.

Pour tout x de , g (x) 2g(x) 2e^2x 2e^2x 0 donc g est solution de (E).

2. h est définie sur par h(x) 5e^2x.

h est dérivable sur . Pour tout réel x, h (x) 5 2e^2x 10e^2x.

Pour tout x de , h (x) 2h(x) 10e^2x 2 5e^2x 10e^2x 10e^2x 0 donc h est solution de (E).

3. f est définie sur par f(x) ke^2x.

f est dérivable sur . Pour tout réel x, f (x) k 2e^2x 2ke^2x.

Pour tout x de , f (x) 2f(x) 2ke^2x 2 ke^2x 0 donc f est solution de (E).

134 page 202.

Soit A le point de la courbe de f d abscisse 0 : A(0 f(0)).

A est un point de T donc les coordonnées de A vérifient l équation de T : yA 6 0 2 2.

Ainsi, f(0) 2.

De plus, f (0) est le coefficient directeur de T donc f (0) 6.

f(0) 2 donc Ce^{k 0} 2 donc C 2

Donc f est définie sur par f(x) 2e^kx où k est à déterminer.

f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x) 2 ke^kx 2ke^kx. f (0) 6 donc 2ke^{k 0} 6 donc 2k 6 donc k 3 Ainsi, f est définie sur par f(x) 2e^3x.

135 page 202.

Soit n . fn est dérivable sur +*. Pour tout x 0, f (x) ne^nx x e^nx 1 x²

e^nx(n x 1) x² . On peut alors construire le tableau :

x 0 1

n nx 1

e^nx

signe de f_n (x) variations de f_n

Ainsi, f_n admet un minimum sur ]0 [ qui est f



 1 n

e

n n

1 n

ne.