CORRECTION DES EXERCICES 74 (4), 75 ET 78 A FAIRE PENDANT LE COURS DU JEUDI 16 AVRIL
Exercice N° 74 p 193 question 4 4. f(x) 2x e2x
f est définie et dérivable sur . Pour tout réel x, f(x) 2 2e2x 2(1 e2x)
On cherche le signe de 1 e2xpour savoir "où mettre le et le dans le tableau".
1 e2x 0 1 e2x 0 2x 0 x.
On a trouvé que 1 e2x 0 lorsque x 0 donc on met les dans le tableau lorsque x 0.
On a donc le tableau :
x 0 2
1−e2x
signe de f (x) 2
(
1−e2x)
variations de f 1
f(0) 2 0 e2 0 1
Exercice N° 75 p 193
Dans cet exercice, vous pouvez aussi faire des tableaux comme dans le cours.
1)
f est dérivable sur , pour tout
Pour tout donc f est strictement croissante sur
Si on fait un tableau, on a une ligne pour 2, une ligne pour e2x 1 , une ligne pour le signe de f (x) et une ligne pour les variations de f.
2)
f est dérivable sur , pour tout Pour tout
donc f est strictement décroissante sur
3)
f est dérivable sur , pour tout Pour tout
donc f est strictement décroissante sur
4)
f est dérivable sur , pour tout Pour tout
donc f est strictement décroissante sur
Exercice N° 78 p 193
Soit f la fonction définie sur par
1) f est dérivable sur Pour tout
Pour montrer l’égalité demandée, on va partir du membre de droite « », le développer et montrer que l’on retombe bien sur l’expression de f ’(x) que l’on vient de calculer.
On obtient bien l’expression de f ‘(x).
Donc pour tout
2) Pour étudier le signe de f’(x), on va se servir de la forme factorisée : Pour tout
Par conséquent,
On cherche ensuite le signe de , pour savoir où mettre le « + » (ou le « - » ) dans le tableau de signes.
dans le tableau de signes, on mettra donc un « + » lorsque x > 0
3) Tableau de variations de f :
