ET DE L EXERCICE I DE LA FICHE A FAIRE PENDANT LE COURS DU JEUDI 7 MAI

CORRECTION DE L EXERCICE 25 A FAIRE POUR LE JEUDI 7 MAI

ET DE L EXERCICE I DE LA FICHE A FAIRE PENDANT LE COURS DU JEUDI 7 MAI

25 page 245.

1. z

1

3e

ⁱ³

3

 

  cos  

  3 isin

 

 

3 3

 

  1

2 i ³ 2

3 2

3 3

2 i. La forme algébrique de z

1

est z

1

3 2

3 3 2 i.

z

1

z

2

 

  3

2 3 3

2 i (2 2 i) 3 3 3 i 3i 3 3 3 3 3 i ( ^{3 3} 3 . La forme algébrique )

de z

1

z

2

est z

1

z

2

3 3 3 i ( ^{3 3 3 .} )

2. | ³ | 3 et art( 3)= donc la forme exponentielle de 3 est 3e

ⁱ

. Alors z

1

3e

ⁱ

e

ⁱ³

3e

ⁱ

(

³

) _3e

²ⁱ³

. La forme exponentielle de z

1

est 3e

2i

3

et la forme trigonométrique de z

1

est donc 3

 

  cos  

  2

3 isin

 

  2

3 .

| | ^z

²

^{2 2 et arg} ( ) ^z

²

4 donc la forme exponentielle de z

2

est 2 2 e

ⁱ⁴

et la forme trigonométrique de z

₂

est donc 2 2

 

  cos  

  4 i sin

 

  4 . z

1

z

2

3e

2i

3

2 2 e

ⁱ⁴

6 2 e

ⁱ

(

^{23 4}

) _{6 2 e}

ⁱ

( )

⁵¹²

: la forme exponentielle de z

1

z

2

est 6 2 e

ⁱ

( )

⁵¹²

et la forme trigonométrique de z

1

z

2

est donc 6 2

 

  cos  

  5

12 isin

 

  5

12 .

On a vu que z

₁

z

₂

a pour forme algébrique 3 3 3 i ( ^{3 3} 3 et comme forme trigonométrique )

6 2  

  cos  

  5

12 isin

 

  5

12 . Alors cos

 

  5

12

3 3 3 6 2

1 3

2 2

2 6

2 2 2

6 2

4 et sin

 

  5 12

3 3 3 6 2

6 2

4 I. de la fiche

1. | | ^z

1

3 1 2. Soit

₁

un argument de z

₁

. cos ( )

¹

³

2 et sin ( )

¹

¹

2 donc

1



6 (2 ). Ainsi, la forme exponentielle de z

1

est 2 e

i 6

. z

1

126

2

¹²⁶

e

126i

6

2

¹²⁶

e

²¹

2

¹²⁶

(cos( 21 ) i sin( 21 )) 2

¹²⁶

 . Ainsi, z

1

126

est un réel.

2. z ′ 5( k′)

²

i 4(1 i k′)– k′ 5 k

²

i 4 4i k k 5 k

²

k 4 i(1 4 k ) z est imaginaire pur ssi 5 k

²

k 4 0

81 donc l équation a deux solutions qui sont 1 et 4 5 z′ est imaginaire pur ssi z ′ 1 ou z′ −4

5 . 3. Soit a un réel.

a² a 1 3 i 1 (2a 1) i  a² a 1 3i 1 2 ai i 

 

 a² a 1 1

3 2a 1 car deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont la 

 

 a² a 2 0

a 1 même partie imaginaire et la même partie réelle.



 

 1 1 2 0

a 1



 

 2 0

a 1

Le système n a pas de solution donc il n existe pas de réel a tel que a ² a 1 3 i 1 (2a 1)i