Chapitre 07 Derivation

7 Compl ´ements sur la d ´erivation

Objectifs :

• Savoir calculer la d´eriv´ee d’une fonction compos´ee (par racine carr´ee, puissance...)

• Utiliser `a bon escient la d´erivation dans une ´etude de fonction Aper¸cu historique :

La notion de nombre d´eriv´e, puis de fonction d´eriv´ee sont n´ees au xvii^esi`ecle (presque) simultan´ement chez deux scientifiques Leibniz(1646-1716) et Newton(1642-1727) `a partir de deux probl`emes tr`es diff´erents.

Leibniz avait le premier parl´e de fonction num´erique. Il s’est aussi int´eress´e aux courbes repr´esentatives de ces fonctions et en particulier aux droites joignant deux points d’une telle courbe. Les pointsA(a;f(a))et M(a+h;f(a+h))sont sur la courbe repr´esentative d’une fonctionf. Le coefficient directeur de la droite (AM)est ^f(a+h)_h^−f(a). Qu’advient-il de ce coefficient directeur lorsque les deux points Aet M sont tr`es proches l’un de l’autre, “infiniment proches” ?

Newton s’est int´eress´e aux mouvements et en particulier aux vitesses d’objets en d´eplacement : `a un instant t, un objet a parcouru une distance d1, `a l’instantt+h(h >0), il a parcouru la distance d2. Sa vitesse moyenne entre les instants tet t+hest doncVm=^d2−_h^d1. Que devient cette vitesse lorsque les instants t et t+hsont tr`es proches, “infiniment proches” ?

Dans les deux cas, on est amen´e `a travailler sur des nombres “infiniment proches” et donc `a devoir calculer des quotients de nombres “infiniment proches de 0” : ce sera le^≪h^≫ qui apparaˆıt dans la formule de calcul du nombre d´eriv´e.

1. Rappels de 1 `ere : d ´efinitions

Si vous avez besoin de r´evisions plus approfondies, les cours de 1`ere S est en ligne.

Dans cette partie,f est une fonction num´erique d´efinie sur un intervalleI, etC sa courbe repr´esentative dans un rep`ere.aetxsont deux r´eels distincts dans l’intervalleI priv´e de ses bornes. On notehle r´eel non nul tel quex=a+h. On noteA etM les points deC_f d’abscisses respectivesaetx.

D ´efinition 7.1 Si la limite lorsquehtend vers 0 du taux de variation ^f(a+h)_h^−f(a) vautl, on dit quef est d ´erivable enaet cette limitelest appel ´ee nombre d ´eriv ´e def ena. On note :

f^′(a) = lim

h→0

f(a+h)−f(a)

h =l

Interpr´etation graphique :

Lorsque h se rapproche de 0, le point M se rapproche de A, et la droite (AM) se rapproche d’une^≪position limite^≫appel´ee tangente `aC au pointA; son coefficient directeur est alorsf^′(a).

Propri ´et ´e 7.1 Soit f une fonction num ´erique d ´efinie sur un intervalleI et d ´erivable en a ∈ I.

La tangenteTa `a la courbeC_f a pour ´equation :

Ta|y=f^′(a).(x−a) +f(a) ~i

~j f(a+h)

f(a)

a a+h Cf

Ta

O

M

A

D ´efinition 7.2 Sif est d ´erivable en toutxd’intervalleIon dit quef est d ´erivable surI. La fonction qui

`a tout xdeI associe le nombre d ´eriv ´e def enx est appel ´ee fonction d ´eriv ´ee def sur I. On note : f^′:x7−→f^′(x)

Remarque 7.1 Parfois on notef^′(x) = ^df(x)_dx = ^dy_dx. Ceci pour pr ´eciser qu’on d ´erive par rapport `ax.

Ainsi on peut ´ecrire :dy=f^′(x)dx. Cette ´ecriture signifie que si on prend deux points de la courbeC_f tr `es proches l’un de l’autre, la diff ´erence de leurs ordonn ´ees∆yet la diff ´erence de leurs abscisses∆xsont li ´ees par une relation du type :

∆y=f^′(x)∆x+ǫ(∆x) avec lim

∆x→0ǫ(∆x) = 0

Remarque 7.2 Si la limite enadu taux de variation est infinie,f est non-d ´erivable enamaisC_f admet une tangente verticale ena.

2. Rappels de 1 `ere : d ´eriv ´ee des fonctions usuelles

Dans la suite,kest un r´eel quelconque fix´e etnest un entier naturel non nul.

Les fonctions sinus et cosinus, qui seront ´etudi´ees dans un prochain chapitre, sont int´egr´ees au tableau ci-dessous dans un souci d’exhaustivit´e.

Fonctionf D´eriv´eef^′ Ensemble de

d´erivabilit´e def

x7→k x7→0 R

x7→x x7→1 R

x7→x² x7→2x R

x7→xⁿ x7→nxⁿ⁻¹ R

x7→√

x x7→ 1

2√

x R^∗₊

x7→ 1

x x7→ −1

x² R^∗

x7→cos(x) x7→ −sin(x) R

x7→sin(x) x7→cos(x) R

Propri ´et ´e 7.2 Soientuetvdeux fonctions d ´erivables sur un intervalleIet soitk∈R. Alors les fonctions ku,u+v,u×vet ^u_v (sivne s’annule pas surI) sont d ´erivables surIet on a :

(kf)^′=kf^′; (u+v)^′=u^′+v^′; (uv)^′=u^′v+uv^′; (^u_v)^′= ^u′v_v⁻2^uv′.

3. D ´eriv ´ee d’une fonction compos ´ee

D ´efinition 7.3 Soientu:I→J, une fonction d ´efinie sur un ensembleI `a valeurs dans un ensembleJ, etvune fonction d ´efinie surJ.

I−→^u J −→^v v(J)

La fonction compos ´ee deuparvst d ´efinie pour toutxdeIparv◦u(x) =v(u(x)).

I−−→^v◦u v(J) On notev◦uet on dit “vrondu”. (On pense : “vdeu”)

Remarque 7.3 Attention, la composition n’est en g ´en ´eral pas commutative :u◦v6=v◦u Th ´eor `eme 7.1 Soituetgdeux fonctions telles quef =g◦uexiste sur un intervalleI.

Siuest d ´erivable enaet sigest d ´erivable enu(a), alorsf =g◦uest d ´erivable enaet on a : f^′(a) =g^′(u(a))×u^′(a)

En g ´en ´eralisant `a toutadeI, on obtient :

siuetgsont d ´erivables sur leurs ensembles de d ´efinition respectifs, alorsf est d ´erivable surIet on a :

(g◦u)^′=g^′(u)×u^′

D ´emonstration Soientaun r ´eel fix ´e,uune fonction d ´efinie et d ´erivable enaetgune fonction d ´efinie et d ´erivable enu(a). Calculons le nombre d ´eriv ´e def =g◦uena:

hlim→0

(g◦u)(a+h)−(g◦u)(a)

h = lim

h→0

(g(u(a+h))−(g(u(a)) h

Posonsk=u(a+h)−u(a). On au(a+h) =u(a) +k, et lim

h→0k= 0. Il vient :

hlim→0

(g◦u)(a+h)−(g◦u)(a)

h = lim

h→0

(g(u(a+h))−(g(u(a)) h

= lim

h→0

(g(u(a) +k)−(g(u(a)) h

= lim

h→0

(g(u(a) +k)−(g(u(a))

k ×k

h

= lim

h→0

(g(u(a) +k)−(g(u(a))

k ×lim

h→0

k h

= lim

k→0

(g(u(a) +k)−(g(u(a))

k ×lim

h→0

u(a+h)−u(a) h

=g^′(u(a))×u^′(a)

La fonctionf =g◦uest donc d ´erivable enaet on a :f^′(a) =g^′(u(a))×u^′(a)

On d´eduit de ce th´eor`eme les propri´et´es suivantes :

Propri ´et ´e 7.3 Soituune fonction telle queu(x)>0sur un intervalleI. Soitfla fonction d ´efinie surIpar f =uⁿ. Alorsf est d ´erivable surIet on a :

f^′= (uⁿ)^′=n×uⁿ⁻¹×u^′

D ´emonstration Cette propri ´et ´e peut se d ´emontrer `a partir de la factorisationaⁿ−bⁿ= (a−b)

n−1

P

i=0

aⁱbⁿ⁻¹⁻ⁱ.

Exemple 7.1 f :x7→(x²+ 3)³est d ´efinie et d ´erivable surRen tant que polyn ˆome (d ´evelopper pour s’en convaincre), etf^′(x) = 3(x²+ 3)²×2x= 6x(x²+ 3)², `a garder sous forme factoris ´ee car apr `es avoir calcul ´e

G´en´eralisation `a n∈Q:

Propri ´et ´e 7.4 Soituune fonction telle queu(x)>0sur un intervalleI. Soitfla fonction d ´efinie surIpar f(x) =p

u(x). Siuest d ´erivable surI, alorsf est d ´erivable surIet on a :

f^′ = √

u′ = u^′ 2√ u Exemple 7.2 f :x7→√

x²−1est d ´efinie sur]− ∞;−1]∪[1; +∞[, d ´erivable sur]− ∞;−1[∪]1; +∞[, et f^′(x) =^√_x^2x2

−1 =₂^√_x^x2

−1

Application `a la fonction exponentielle :

Th ´eor `eme 7.2 Soituune fonction d ´efinie et d ´erivable sur un intervalleI. Soitf :x7→e^u(x). La fonctionf est d ´erivable surIet pourx∈Ion af^′(x) = e^u(x)×u^′(x).

On note aussi :(e^u)^′= e^u×u^′.

4. D ´eriv ´ees successives

Si une fonctionf est d´erivable surI, on peut (g´en´eralement) d´eterminer sa d´eriv´eef^′ qui est elle-mˆeme une fonction d´efinie surI. On peut donc ´etudier la d´erivabilit´e de cette derni`ere surI et si elle est d´erivable aussi on peut d´eterminer sa d´eriv´ee qui est alors appel´ee d´eriv´ee seconde def surI et not´eef”. On peut poursuivre ainsi, et sous condition que les d´eriv´ees successives sont d´erivables surI, on notef⁽ⁿ⁾la d´eriv´een^edef surI.

On a pourx∈I:

f⁽ⁿ⁾(x) =

f⁽ⁿ⁻¹⁾′

(x)

Exemple 7.3 Soitf la fonction d ´efinie parf(x) = 3x³−2x²+ 5x−7. Cette fonction est ind ´efiniment*

d ´erivable surRen tant que fonction polyn ˆome, et pourx∈R, on af^′(x) = 9x²−4x+ 5; f^′est d ´erivable surRet pourx∈Ron af”(x) = 18x−4; . . .

*autant de fois que l’on veut (se d ´emontre par r ´ecurrence)

Exemple 7.4 Soitgla fonction cosinus. D ´eterminer les d ´eriv ´ees successives degsurR.

D ´efinition 7.4 Soitf une fonction d ´efinie et d ´erivable sur un intervalleItelle quef^′soit d ´erivable surI.

On appelled ´eriv ´ee seconde def surIla fonction d ´eriv ´ee def^′, que l’on notef^′′.

Exemple 7.5 Soitf la fonction d ´efinie surRparf(x) =x⁴−3x³+x²+ 1.

La fonctionf est d ´erivable surRet pour tout r ´eelx,f^′(x) = 4x³−9x²+ 2x.

La fonctionf^′est d ´erivable surRet pour tout r ´eelx,f^′′(x) = 12x²−18x+ 2.

5. Applications de la d ´erivation

A. ´ Etudes de fonctions

Th ´eor `eme 7.3 (Rappel de premi `ere) Soitf une fonction d ´efinie et d ´erivable sur un intervalleI:

• si pour toutx∈I, on af^′(x)>0alorsf est strictement croissante surI;

• si pour toutx∈I, on af^′(x)<0alorsf est strictement d ´ecroissante surI;

• si pour toutx∈I, on af^′(x) = 0alorsf est constante surI;

Plan g´en´eral pour une ´etude de fonction : 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def.

2. D´eterminer le domaine d’´etude def, grˆace `a des arguments de parit´e et/ou de p´eriodicit´e (voir `a ce sujet le chapitre sur les fonctions trigonom´etriques ci-apr`es).

3. D´eterminer le domaine de d´erivabilit´e def. 4. D´eterminer la d´eriv´eef^′.

5. D´eterminer le signe def^′ sur le domaine d’´etude (penser `a factoriser) ; en d´eduire le sens de variation de f.

6. Dresser le tableau de variations def

7. D´eterminer les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.

8. En d´eduire d’´eventuelles asymptotes, donner leur ´equation et dire si la courbeC_f est en-dessous ou au-dessus de l’asymptote

9. Pour aider au trac´e, calculer la valeur def(x) en quelques points remarquables, et d´eterminer l’´equation de la tangente `aC_f en ces points

10. Tracer la repr´esentation graphique def sur son domaine d’´etude (restreint), puis compl´eter par sym´etrie etc... `a tout le domaine de d´efinition

Exemple 7.6 Soitf la fonction d ´efinie surRparf(x) = 2x³+ 3x²+ 4.

1. ´Etudier les variations def surR. Calculerf(−2)et en d ´eduire le signe def surR.

2. En utilisant les r ´esultats de la question pr ´ec ´edente, ´etudier les variations de la fonctiongd ´efinie surR^∗ parg(x) =x²+ 3x−x⁴. −

B. Calculs de limites

Lorsqu’on sait qu’une fonction est d´erivable, on peut utiliser sa fonction d´eriv´ee pour d´eterminer une limite qui^≪ressemble^≫`a un taux de variation.

Exemple 7.7 Calculer lim

x→0

cosx−1 x .

On reconnaˆıt ici le taux de variation de la fonctioncosentre 0 etx, en effet on a ^cos_x^x−1 =^cos_x−^x−₀¹. La limite lorsquextend vers0de cette expression est donc le nombre d ´eriv ´e de la fonctioncosen0.

Or pourx∈Ron acos^′x=−sinx, Donc :

xlim→0

cosx−1

x =−sin 0 = 0

C. En physique

a. Notation des d ´eriv ´ees en physique

Soitf une fonction d´erivable surI.

On a vu dans la remarque 7.1 quef^′(x) se note aussi parfois ^df_dx(x) ; de mˆemef”(x) se note aussi parfois

d²f

dx²(x), . . ..

Ceci est utile lorsque plusieurs variables interviennent dans une expression ; ainsi en physique, la vitesse d’un solide est la d´eriv´ee de^≪la position^≫par rapport au temps : on note ^df_dt(t). L’acc´el´eration se note ^d_dt^2f2(t).

En physique, on note parfois la d´eriv´ee par rapport au temps en marquant un point au-dessus de la fonction : Si un mobile se d´eplace sur un axe, la position est donn´ee par la fonctionx:t7→x(t). On a alors

x^′(t) = ^dx_dt(t) = ˙x(t). On note aussix” = ¨x(les notations ˙xet ¨xsignifient qu’on d´erive par rapport au temps).

b. Exemple : la chute libre

On consid`ere un objet en mouvement.

On notet la dur´ee en secondes de son parcours, ety(t) la distance en m`etres, parcourue apr`est secondes.

Comme la vitesse moyenne est Vm=^distance_temps , si on notet1 ett2deux instants,

la distance parcourue entret1 ett2 estt2−t1, et le temps de parcours de cette distance esty(t2)−y(t1).

Donc le quotient ^y(t2_t^)−y(t1)

2−t1 est la vitesse moyenne de l’objet entre les instantst₁ ett₂.

On s’int´eresse `a ce que devient cette vitesse lorsque les instants t1 ett1deviennent “infiniment proches”.

D ´efinition 7.5 :

Dans les conditions pr ´ec ´edentes, la limite de la vitesse moyenne quandt2se rapproche det1

(c’est `a dire le nombre d ´eriv ´e deyent1) est appel ´ee vitesse instantan ´ee de l’objet `a l’instantt1.

V(t1) = lim

t2→t1

y(t2)−y(t1) t2−t1

= lim

h→0

y(t1+h)−y(t1) h Exemple:

On lˆache un objet en chute libre. On note x(t) la distance parcourue (en m) apr`estsecondes.

On admet (¹) que la distance parcourue s’exprime en fonction du temps de parcours parx(t) = 4,9t².

Calculer la vitesse instantan´ee de l’objet apr`es une chute de tsecondes.

On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les instantstett+ h:

v= x(t+h)−x(t)

h =4,9(t+h)²−4,9t² h

En d´eveloppant, r´eduisant et simplifiant, on obtient : v=4,9(t²+ 2th+h²)−4,9t²

h =9,8th+ 4,9h²

h = 9,8t+ 4,9h Lorsque h tend vers 0, ce quotient se rapproche de 9,8t : on a

hlim→0(9,8t+ 4,9t) = 9,8t.

Donc la vitesse instantan´ee de l’objet en chute libre est donn´ee par l’expressionv(t) =x^′(t) = 9,8t.

Apr`es 5 secondes de chute libre, la vitesse est de 9,8×5 = 49 m/s.

(soit 179,4 km/h).

(¹)Distance parcourue en chute libre :d= ¹₂gt², o`ug≃9,80665m.s⁻² est l’acc´el´eration de la pesanteur.

On remarque que la vitesse de chute libre est ind´ependante de la masse de l’objet.

6. Primitives d’une fonction

A. D ´efinition, premiers exemples.

D ´efinition 7.6 Soitf une fonction d ´efinie sur un intervalleI. On dit queF est une primitive def surIsi F est d ´erivable surIet si pour toutx∈Ion aF^′(x) =f(x).

Exemple 7.8 Soitf :x7→cos(x). Une primitive def surRest la fonctionF :x7→sin(x).

Soitg:x7→2x³−4x. Une primitive degsurRest la fonctionG:x7→¹2x⁴−2x².

Exemple 7.9 Tableau de primitives usuelles o `uuest une fonction d ´erivable sur l’ensemble indiqu ´e,nun

entier naturel etkun r ´eel quelconque :

Fonctionf PrimitiveF Ensemble

f(x) =k F(x) =kx R

f(x) =x F(x) = ^x₂² R

f(x) =xⁿ F(x) =_n+1¹ xⁿ⁺¹ R

f(x) =e^x F(x) =e^x R

f(x) = cos(x) F(x) = sin(x) R f(x) = sin(x) F(x) =−cos(x) R f =u×u^′ F = ¹₂u² R f =u^′×uⁿ F = ^u_n+1ⁿ⁺¹ R

f = ^u_u^′ F = ln(u) pourx, u(x)∈R^∗₊ f = _u^u2^′ F =−u¹ pourx, u(x)6= 0 f = ^√u′_u F = 2√

u pourx, u(x)>0

f(x) =u^′e^u F(x) =e^u R

f(x) =u^′cos(u) F(x) = sin(u) R f(x) =u^′sin(u) F(x) =−cos(u) R

Propri ´et ´e 7.5 Toute fonction continue sur un intervalleIdeRadmet des primitives surI.^a

a. Ceci est admis pour l’instant, et sera d´emontr´e au chapitre sur les int´egrales.

B. ”d ´efinition `a une constante pr `es”, unicit ´e s’il y a une ”condition initiale”

Propri ´et ´e 7.6 Soitf une fonction continue surI. Deux primitives def surIdiff `erent d’une constante.

D ´emonstration Cette d ´emonstration est au programme.

SoientF etGdeux primitives de la fonctionf surI.

Alors, pour tout r ´eelxdeI, on aF^′(x) =f(x)etG^′(x) =f(x).

D’o `uF^′(x) =G^′(x), i.e.F^′(x)−G^′(x) = 0, ou encore(F−G)^′(x) = 0, pour tout r ´eelxdeI.

Ainsi la fonctionF−Gest constante surI.

Soitkla valeur de cette constante. On a :∀x∈I, F(x)−G(x) =k, i.e.F(x) =G(x) +k.

Les deux primitivesF etgdiff `erent d’une constantek.

Th ´eor `eme 7.4 Soitf une fonction d ´efinie sur un intervalleI. SiF est une primitive de f surIalors f admet une infinit ´e de primitives et toute autre primitive def surI est d ´efinie parG(x) =F(x) +ko `uk est un r ´eel quelconque.

D ´emonstration Soitk∈RetG:x7→F(x) +k.

La fonctionGest d ´erivable surIet pourx∈Ion aG^′(x) =F^′(x) =f(x)doncGest une primitive defsurI.

R ´eciproquement, soitGune autre primitive def queFsurI. La fonctionG−F est d ´erivable surIet pour x∈Ion a(G−F)^′(x) =G^′(x)−F^′(x) =f(x)−f(x) = 0.

Donc la fonctionG−F est constante surIet il existe donc un r ´eelktel que pour toutx∈Ion a G(x) =F(x) +k.

Th ´eor `eme 7.5 Soitf une fonction d ´efinie surIet admettant des primitives surI. Soitx0 ∈I ety0∈R.

Il existe une unique primitiveF def surIv ´erifiantF(x0) =y0.

D ´emonstration Supposons qu’il existe deux primitivesF etGdef surItelles queF(x0) =G(x0) =y0. D’apr `es le th ´eor `eme 7.4, il existek∈Rtel que pour toutx∈Ion aG(x) =F(x) +k.

En particulier six=x0, on obtient :y0=y0+kdonck= 0etF =G.

La primitive v ´erifiant la condition initialeF(x0) =y0est unique.

Exemple 7.10 D ´eterminer la forme g ´en ´erale des primitives def :x7→ ^sin(x) sur

−^π;^π .