FONCTIONS LOGARITHMES : COURS OBJECTIF

FONCTIONS LOGARITHMES : COURS

OBJECTIF : Connaître les propriétés et les représentations graphiques des fonctions log x et ln x.

ACTIVITE 1 : Découverte de la fonction logarithme décimal.

1) Trouver la touche log de votre calculatrice et calculer log 3 ≈ 0,477 0,477 0,477 0,477 (valeur approchée au millième) 2) Compléter le tableau suivant (arrondir au millième) :

x -21,5 -4 -1 0 0,5 1 2,6 10 10⁵

log x Err Err Err Err -0,301 0,000 0,415 1,000 5,000

Pour quelles valeurs de x le nombre log x semble ne pas être défini ? Log x semble ne pas être défini pour les x négatifs ou nul.

3) Compléter le tableau suivant, colonne par colonne (mettre tous les chiffres pour log x) :

x (nombre

décimal) 0,001 0,002 0,01 0,1 0,5 1 10 50 1 000 000 1 000 000

000

x (puissance

de dix) 10^-3 10-2,698970004

10^-2 10^-1 10-0,301029995

1 10 101,698970004

10⁶ 10⁹

log x -3 -2,6989700040 -2 -1 -0,301029995 0 1 1,698970004 6 9

Que remarque-t-on ?

Log x, si x est en puissance de 10, donne l'exposant. Si l'exposant est négatif, le log est négatif log 1 = 0 ; log 10 = 1

Tout nombre peut s'écrire sous puissance de 10.

I)

FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

1)

Définition.

La fonction logarithme décimale, notée log x, est définie sur ]0 ; +∞∞∞∞[

Elle fait correspondre à un nombre exprimé sous une puissance de 10 son exposant.

Log 10 ⁿ = n

Remarques : log 1 = 0 log 10 = 1 2)

Représentation graphique : la fonction est croissante.

3)

Propriétés.

Exemples

log ab = log a + log b log (10⁴x 10⁵) = 9 = 4 + 5 = log 10⁴ + log 10⁵ loga

b = log a – log b log10⁸

10³ = 5 = 8 – 3 = log 10⁸ – log 10³

log aⁿ = n log a Log (10³) = 3

log (1000⁷) = 21 = log (10^3)*7 = 7 log 103

FONCTIONS LOGARITHMES : COURS

4)

Exemples.

a) Calculer log x (à 10^-3 près) pour les valeurs suivantes de x : 0,3 ; 0,82 ; 1,3 ; 12 ; 640 log 0,3 = -0,523 ; log 0,82 =-0,086 ; log 1,3 = 0,114 ; log 12 = 1,079 ; log 640 = 2,806 b) Exprimer en fonction de log x et log y : log x⁴ = 4 log x log y^-2 = -2 log y log x³

y² = 3 log x – 2 log y c) Exprimer en fonction de log 5 et / ou log 3 les nombres suivants : log 25 ; log 9 ; log 45 ; log 125 ; log9

5 log 25 = log 5² = 2 log5 ; log 9 = log 3² = 2 log3 ; log 125 = log 5³ = 3 log5 ;

log 45 = log 9*5 = log 3²*5 = log3² + log5 = 2 log3 + log5 log9

5 = log3² – log 5 = 2 log3 - log5 5)

Application : résolution d'un problème.

Vous placez 10 000 € à 5% par an. Dans combien de temps aurez-vous 17 958,56 € ? Au bout d'un an, j'aurais 10500 (10000*1,05)

Au bout de 5 ans, j'aurais 10000 * 1,05⁵ = 12762,82 € Au bout de n ans, j'aurais 10000*1,05ⁿ

Or je veux 17958,56 = 10000*1,05ⁿ donc 17958,56/10000 = 1,05ⁿ

donc 1,795856 = 1,05ⁿ les deux nombres sont positifs donc on peut utiliser les logarithmes

log 1,795856 = log 1,05ⁿ cad log 1,795856 = n log 1,05donc n = log 1,795856 / log 1,05 = 11,999996 donc il faudra 12 ans.

ACTIVITE 2 : Relation entre log et ln.

1) Compléter le tableau suivant, ligne par ligne, en utilisant la calculatrice (arrondir au millième).

x 0,25 0,5 1 2 3 4 5 6 10 15 20

ln x log x

ln x log x

2) Représenter la fonction y = ln x dans le repère du I)2). Que constatez-vous ?

Donner graphiquement puis en utilisant la calculatrice la valeur de x pour laquelle ln x = 1.

3) A l’aide du tableau, donner la valeur approchée au millième puis exacte du rapport ln x log x Déduire l’expression de ln x en fonction de log x.

II)

FONCTION LOGARITHME NEPERIEN.

1)

Relation entre log et ln : 2)

Définition :

3)

Représentation graphique.

La valeur de x telle que ln x = 1 est notée e et vaut : e ≈ 4)

Propriétés : ln ab = lna

b = ln aⁿ = ln



5)

Exemples.

a) Calculer ln5

3 ; ln 10 ; ln 0,6 (arrondir à 10^-4).

b) Soit f(x) = ln (0,5x⁷). Exprimer f(x) en fonction de ln x. Calculer f(1,5).

6)

Application : Résoudre le problème du I)5) avec ln et pas log.

FONCTIONS LOGARITHMES : EXERCICES 1. Calculer log x pour les valeurs suivantes de x : 0,36 ;

37

; 1,3 ;

7

; 1 238 ;

3

5²

2. Exprimer en fonction de log 2 et / ou log 3 les nombres suivants :

log 4 ; log 6 ; log 12 ; log 200 ; log 30 000; log 1 800

3. Exprimer en fonction de log a et / ou log b : log a

; log a

;

b³

; log a

b

; log 

4. Calculer ln x pour les valeurs suivantes de x : 0,03 ;

7

; 2,81 ; 305 ;

4

5⁶−4³

5. Simplifier les expressions suivantes :

bln b

; ln a

– ln a ; ln

bln ab ; ln a−2lna⁴ b³

6. Calculer ln (e

) ; ln

1

e²

; ln



7. Exprimer en fonction de ln 2 les nombres suivants : a = ln 4−3ln 1

8 b = ln 8 e− 2ln4− ln 1

2 c = ln 2

e²ln 16e

8. Exprimer en fonction de ln 2 et ln 3 les nombres suivants : ln 18 ;

81

;

27

; ln 24

9. Si on place un capital C à intérêts composés, au taux de t % par an, la valeur acquise par ce capital à la fin de la n

année est : C

= C(1 + t)

Une personne effectue un placement de 40 000 € à intérêts composés, au taux de 7 % par an (t = 0,07).

Au bout de combien d’années son capital sera-il de 52 431,84 € ?

10.

Coût de fabrication.

Une entreprise fabrique des objets en matière plastique. Le coût de production en € de x objets est donné par la fonction :

C(x) = 10 ln (3x + 1), x ∈ [0 ; 50]

Cette fonction est continue et croissante.

1) Compléter le tableau (arrondir au centime) :

x

2 5 10 20 30 40 50

C(x)

2) Représenter la fonction C(x) en utilisant les valeurs du tableau ci-dessus pour x

[0 ; 50].

- axe des abscisses : 1 cm pour 5 objets ; - axe des ordonnées : 1 cm pour 5 €.

3) Chaque objet est vendu 2 €.

a) Exprimer le chiffre d’affaires A en fonction de x.

b) Représenter A(x) sur le même repère.

c) Déterminer graphiquement le nombre minimum d’objets à fabriquer pour réaliser un bénéfice.

d) Vérifier par le calcul votre réponse.

11. La production d'une entreprise est de 50 000 unités par mois. Elle diminue de 15% par mois.

a) Quand la production sera-t-elle de moins de 10 000 unités ? b) Quand la production sera-t-elle nulle ?

12. Résoudre dans l’intervalle ]0 ; +∞[ les équations : ln x = 2 ; ln x = -1 ; ln x = 3 13. Limite du programme.

Résoudre l'équation ln 2x = ln (3x – 1) après avoir déterminé l'ensemble de définition de cette équation.