Après avoir étudié les variations de la fonction x 6 ( ) ln x

PanaMaths Avril 2011

Après avoir étudié les variations de la fonction ^{x 6} ( ) ^{ln x}

²

^{sur un}

intervalle approprié, donner un encadrement de l’intégrale :

( )

5

2

ln

2 e e

∫ t dt

Analyse

Pour encadrer l’intégrale, on peut encadrer la fonction sur l’intervalle considéré.

La fonction ^t6

( )

^{lnt 2} est assez simple et l’étude de ses variations ne pose pas de problème particulier …

Résolution

La fonction ^x6

( )

^{lnx 2} est la composée de la fonction logarithme népérien et de la fonction carrée. Sur l’intervalle ⎡⎣e²;e⁵⎤⎦, inclus dans \^*₊, la fonction logarithme népérien est

strictement croissante et prend ses valeurs dans l’intervalle

[

^{2 ; 5}

]

, lui-même inclus dans \₊. Or, la fonction carrée est strictement croissante sur \₊. On en déduit finalement que la fonction ^x6

( )

^{lnx 2} est strictement croissante sur l’intervalle ⎡⎣e²;e⁵⎤⎦.

D’après ce qui précède, on a :

( )

²

^{( )}

²

( )

²

2 5 2 5

; , ln ln ln

x ⎡e e ⎤ e x e

∀ ∈⎣ ⎦ ≤ ≤

C'est-à-dire :

( )

²

2 5

; , 4 ln 25

x ⎡e e ⎤ x

∀ ∈⎣ ⎦ ≤ ≤

On en déduit alors :

( )

5 5 5

2 2 2

4 ln 2 25

e e e

e e e

dx≤ x dx≤ dx

∫ ∫ ∫

Soit :

( )

⁵

^{( )} ( )

2

5 2 2 5 2

4 ln 25

e

e

e −e ≤

∫

x dx≤ e −e

PanaMaths Avril 2011

Finalement :

( )

⁵

^{( )} ( )

2

2 3 2 2 3

4 1 ln 25 1

e

e

e e − ≤

∫

x dx≤ e e −

Résultat final

( )

⁵

^{( )} ( )

2

2 3 2 2 3

4 1 ln 25 1

e

e

e e − ≤

∫

x dx≤ e e −