A 516 Antoine Verroken Q1.a. somme des n premiers nombres premiers > n²
la somme des nombres impairs : ( 1 + ( 2*n - 1) * n /2 = n²
comme tout nombre premier est >= au nombre impaire correspondant ( = 3,5,7 ) la somme des n premiers nombres premiers > n²
b. somme des n premiers nombres premiers < n³
approximation de pn : pn ~ n * ( log n + 1 ) (1)
somme des n premiers nombres premiers : intégrale ( n * ( log n + 1 ) , n = 0..n ) = n² * ( 2 * log n + 1 ) / 4
pour n > 3 ( 2 * log n + 1 )/4 > 1 sans approximation les nombres impairs 1 et 3 sont égales ou plus grands que le nombre premier correspondant.
( 2 * log n + 1 ) / 4 < n
donc n² < somme des n premiers nombres premiers < n³ c. estimation de l' approximation :
n (1) valeur réelle diff.
600 1241447 1223095 1.68%
10000 485568071 496165411 2.18%
100000 60065253730 62260698721 3.65%
Q2. somme des carrés
intégrale : n³ * ( 3*log n * ( 3*log n + 4 ) + 5 ) / 27
( 3*log n * ( 3*log n + 4 ) + 5 ) / 27 > 1 pour n> 3 ( 3*log n * ( 3*log n + 4 ) + 5 ) / 27 < n
donc n³ < somme des carrés < n^4
controle : n 100000 (1) 49485307350000000 (r) 53251529659694763 diff. 7.6 %
Q.3. on peut déterminer l'intégrale de : n^k * ( log n + 1 )^k et on obtient : n^( k + 1) * f ( log n) / b comme somme.
si f ( log n ) / b > n ou f ( log n) / b < 1 la proposition ne sera pas exacte.
