G20210. Cubo¨ıdes ` a gogo
Un volume est form´e de 1721 cubes de mˆeme taille, et ce serait un par- fait parall´el´epip`ede rectangle (avec plusieurs couches de cubes dans chaque direction) s’il n’y manquait pas les cubes des sommets de ce parall´el´epip`ede.
On demande de d´enombrer les sous-ensembles de cubes ´el´ementaires qui forment des parall´el´epip`edes rectangles (deux de ces parall´el´epip`edes sont distincts d`es que certains cubes ´el´ementaires appartiennent `a l’un et non `a l’autre).
Solution
En compl´etant par les 8 cubes des sommets, on a en tout 1729 = 7×13×19 cubes ´el´ementaires.
Un parall´el´epip`ede de dimensions a×b×ccomporte f(a, b, c) =Ca+12 Cb+12 Cc+12
sous-ensembles tels que d´efinis par l’´enonc´e, puisque dans chaque direction il faut choisir `a quelle abscisse commence le sous-ensemble et `a quelle abscisse il se termine (de 0 `a a, de 0 `a b, de 0 `a c).
Mais ici le volume dont on doit d´enombrer les sous-ensembles est la r´eunion des parall´el´epip`edes obtenus en ˆotant du parall´el´epip`ede 7×13×19 les couches extrˆemes dans l’une ou l’autre direction.
La formule de Poincar´e
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C| − |B∩C| − |C∩A| − |A∩B|+|A∩B∩C|
conduit pour le nombre cherch´e `a
f(5,13,19)+f(7,11,19)+f(7,13,17)−f(7,11,17)−f(5,13,17)−f(5,11,19)+
f(5,11,17) = 472095.
Remarque. Pour un parall´el´epip`ede complet 7×13×19, on d´enombrerait 484120 sous-ensembles. La diff´erence (sous-ensembles “perdus” par la sup- pression des cubes des coins) prend la forme simple (2a−1)(2b−1)(2c−1) quand on part de a×b×c comme dimensions hors-tout. Ce r´esultat peut se justifier par un raisonnement direct.
Par exemple, Christian St´efani observe qu’il y a bijection entre un tel pa- rall´el´epip`ede et son centre ; les centres se trouvant dans les plans d´elimitant les couches de cubes, ou `a mi-distance, leur nombre est (2a−1)(2b−1)(2c−1).
De mˆeme, Louis Moreau de Saint-Martin note que les paires de plans limitant dans chaque direction un parall´el´epip`ede contenant un cube de coin (au moins) appartiennent `a des ensembles de cardinal (2a−1),(2b−1),(2c− 1) respectivement, et peuvent y ˆetre prises de fa¸con ind´ependante, d’o`u le r´esultat.
1
