L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Notes sur les fonctions circulaires r´ eciproques
Table des mati` eres
1 La fonction arcsinus 1
2 Fonction arccosinus 3
3 Fonction arctan 4
1 La fonction arcsinus
Soit fonctionf est donc d´efinie par : f: h
−π 2,π
2 i
→R, x7→sin(x)
restriction de sin `a h
−π 2,π
2 i
. (A) La fonctionf est continue surh
−π 2,π
2 i. (B) La fonction f est strictement croissante surh
−π 2,π
2
i. En effet,f est d´erivable surh
−π 2,π
2
iet l’on a :
∀x∈i
−π 2,π
2 h
f′(x) = cos(x)>0.
De (A), (B) et du th´eor`eme de la bijection, on d´eduit que f r´ealise une bijection deh
−π 2,π
2
i sur son image h
f
−π 2
, fπ 2
i= [−1,1].
D´efinition :La fonction arcsinus, not´ee arcsin, est l’application r´eciproque de l’application bijective g: h
−π 2,π
2 i
→[−1,1], x7→sin(x).
On a donc :
arcsin : [−1,1]→h
−π 2,π
2 i
, y7→ l’unique solution dansh
−π 2,π
2
ide l’´equation sin(x) =y.
Remarque :On a donc :
∀x∈h
−π 2,π
2
i arcsin(sin(x)) =x et ∀y∈[−1,1] sin(arcsin(y)) =y.
Propri´et´es
1. La fonction arcsin: [−1,1]→h
−π 2,π
2
iest impaire.
2. La fonction arcsin: [−1,1]→h
−π 2,π
2
iest continue sur [−1,1].
3. La fonction arcsin: [−1,1]→h
−π 2,π
2
iest d´erivable sur ]−1,1[.
4. Pour touty∈]−1,1[, arcsin′(y) = 1 p1−y2. 5. Le tableau de variations de arcsin est :
x −1 1
π 2
Variations de arcsin
ր
−π 2
6. Le tableau de signes de arcsin est :
x −1 0 1
Signe de arcsin − 0 +
7. La courbe repr´esentative de arccos dans un rep`ere orthonorm´e du plan est :
0.5 1.0 1.5 2.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
Cf
Carcsin
y=x
Preuve de l’assertion 3 : Soity∈]−1,1[.
La fonction
g: h
−π 2,π
2 i
→[−1,1], x7→sin(x)
est continue, bijective, d´erivable enx= arcsin(y)∈i
−π 2,π
2
het son nombre d´eriv´e enx(sin′(x) = cos(x)) n’est pas nul.
On en d´eduit que la r´eciproque de la fonctiong, i.e. arcsin, est d´erivable eny=g(x) et que :
(∗) arcsin′(y) = 1
sin′(arcsin(y))= 1 cos(arcsin(y)). Commey∈]−1,1[, arcsin(y)∈i
−π 2,π
2
het donc cos(arcsin(y))>0. On a donc :
(∗∗) cos(arcsin(y)) =p
cos2(arcsin(y)) = q
1−sin2(arcsin(y)) =p 1−y2. De (∗) et (∗∗), on d´eduit que :
arcsin′(y) = 1 p1−y2.
Q.E.D.
2 Fonction arccosinus
On d´emontre, en utilisant le th´eor`eme de la bijection, que la fonction h: [0, π]→[−1,1], x 7→cos(x) est bijective.
D´efinition :La fonction arccosinus, not´ee arccos, est l’application r´eciproque de l’application bijective h: [0, π]→[−1,1], x 7→cos(x).
On a donc :
arccos: [−1,1]→[0, π], y7→ l’unique solution dans [0, π] de l’´equation cos(x) =y.
Remarque :On a donc :
∀x∈[0, π] arccos(cos(x)) =x et ∀y∈[−1,1] cos(arccos(y)) =y.
Propri´et´es
1. La fonction arcsin: [−1,1]→[0, π] est continue sur [−1,1].
2. La fonction arcsin: [−1,1]→[0, π] est d´erivable sur ]−1,1[.
3. Pour touty∈]−1,1[, arccos′(y) =− 1 p1−y2. 4. Le tableau de variations de arccos est :
x −1 1
π
Variations de arccos
ց
0
5. Le tableau de signes de arccos est :
x −1 1
Signe de arccos + 0
6. La courbe repr´esentative de arccos dans un rep`ere orthonorm´e du plan est :
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−0.5
−1.0
−1.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
−0.5
−1.0
−1.5
−2.0
Ch
y=x
Carccos
3 Fonction arctan
On d´emontre, en utilisant le th´eor`eme de la bijection, que la fonction k: i
−π 2,π
2
h→R, x 7→tan(x) est bijective.
D´efinition :La fonction arctan, not´ee arctan, est l’application r´eciproque de l’application bijective k: i
−π 2,π
2 h
→R, x 7→tan(x).
On a donc :
arctan:R→i
−π 2,π
2 h
, y7→ l’unique solution dans i
−π 2,π
2
hde l’´equation tan(x) =y.
Remarque :On a donc :
∀x∈i
−π 2,π
2
h arctan(tan(x)) =x et ∀y∈R tan(arctan(y)) =y.
Propri´et´es
2. La fonction arctan:R→i
−π 2,π
2
hest continue et d´erivable surR.
3. Pour touty∈]−1,1[, arctan′(y) = 1 1 +y2. 4. On a lim
x→−∞arctan(x) =−π
2 et lim
x→+∞arctan(x) =π 2. 5. Le tableau de variations de arctan est :
x −∞ +∞
π 2
Variations de arctan
ր
−π 2
6. Le tableau de signes de arctan est :
x −∞ 0 +∞
Signe de arctan − 0 +
7. La courbe repr´esentative de arctan dans un rep`ere orthonorm´e du plan est :
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5 6 7
−1
−2
−3
−4
−5
Ck
y=x
Carctan
