Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alternance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges. Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie gagnante.
Un sommet appartient donc à trois faces.
Si chaque face n’avait que 3 arêtes, donc 3 sommets, le nombre de sommets serait égal au nombre de faces f et le nombre d’arêtes a serait a=3f/2 : le polyèdre serait un tétraèdre (cf. formule d’Euler f+s=a+2).
L’une des faces a au moins quatre arêtes : Zig signe cette face F1 ; la face F2 que signe ensuite Puce a au plus une arête A commune avec F1.
Zig signe ensuite une face partageant avec F1 une arête de sommets S1 et S2 qui
n’appartiennent pas à A. Quoi que choisisse Puce, Zig pourra, au coup suivant, signer la troisième face à la quelle appartient S1 ou S2. La stratégie de Zig est gagnante.
