ECE 1 MATHEMATIQUES
DS 7 - Concours Blanc 2 - durée : 4 h 5 juin 2012
Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Cours.
1. Donner la dénition d'un s.e.v.F d'un e.v.E. 2. Donner la dénition d'une base d'un e.v.E.
Exercice I.
Dans cet exercice, les vecteurs seront notés en colonne, mais les coordonnées en ligne.
1. a. Donner la base canoniqueB deR3.
b. Quelles sont les coordonnées du vecteur u=
−2
−1 2
dans la baseB?
2. Montrer que E=
x y z
∈R3
3x+ 2y+ 4z= 0
est un s.e.v. deR3.
3. On considère la famille de vecteurs F =
4 0
−3
;
0
−2 1
. a. Est-ce une base deR3? Justier.
b. Montrer que la famille F est libre.
c. En déduire une baseB0 et la dimension du s.e.v. G=V ect(F). d. Le vecteuruappartient-il à G?
e. Si oui, quelles sont ses coordonnées dans la baseB0 deG?
Exercice II.
EML 2009Soit la fonctionf dénie sur Rpar f(x) =
x
ex−1 six6= 0 1 six= 0
. On noteCf sa courbe représentative.
Partie I : Etude d'une fonction.
1. a. Montrer quef est continue sur R.
b. Justier quef est de classeC1 sur]−∞; 0[et sur ]0; +∞[ et calculerf0(x)pourx6= 0. c. On admet que lim
x→0f0(x) =−1 2.
Etablir quef est de classeC1surRet déterminerf0(0).
2. a. Etudier les variations de l'applicationudénie surRparu(x) = (1−x)ex−1. b. En déduire que ∀x∈R, f0(x)<0.
c. Déterminer les limites def en−∞et en +∞. d. Dresser le tableau de variations def.
e. Montrer que Cf admet une asymptote oblique en−∞, d'équationy=−x.
f. Montrer queCf admet une asymptote horizontale en+∞, et déterminer son équation.
g. Tracer l'allure deCf.
1/4
Partie II : Etude d'une suite récurrente associée à la fonction f.
On considère la suite(un)n∈N, dénie par u0= 1, et, pour tout n∈N, un+1=f(un). 1. Montrer quef admet un point xe et un seul, notéα, que l'on calculera.
2. a. Etablir que ∀x≥0, e2x−2xex−1≥0. b. Montrer que ∀x >0, f0(x) +1
2 =e2x−2xex−1 2(ex−1)2 . c. Montrer que ∀x∈[0; +∞[, −1
2 ≤f0(x)<0, et donc que |f0(x)| ≤ 1 2. 3. a. Etablir que ∀n∈N, |un+1−α| ≤1
2|un−α|. b. En déduire que ∀n∈N, |un−α| ≤ 1
2n(1−α)≤ 1 2n. 4. Conclure que la suite(un)n∈Nconverge versα.
5. Ecrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et ache le plus petitn∈Ntel que |un−α|<10−9. Partie III : Etude d'une fonction dénie par une intégrale.
On considère l'application Gdénie sur Rpar G(x) = Z 2x
x
f(t)dt.
1. Montrer queGest de classeC1 surRet que ∀x∈R, G0(x) =
x(3−ex)
e2x−1 si x6= 0 1 si x= 0
. 2. a. Montrer que ∀x∈[0; +∞[, 0≤G(x)≤xf(x).
b. En déduire lim
x→+∞G(x).
3. a. Montrer que ∀x∈]− ∞; 0], G(x)≤xf(x). b. En déduire lim
x→−∞G(x).
4. Etudier les variations deG. On n'essaiera pas de calculerG(ln(3)).
2
Exercice III.
ECRICOME 2011 Partie I. Un jeu en ligne.Une société met à la disposition de ses clients un nouveau jeu en ligne dont la page d'écran ache une grille à trois lignes et trois colonnes.
Après une mise initiale de1 e du joueur, une fonction aléatoire place au hasard trois étoiles (F)dans trois cases diérentes. La partie est gagnée si les trois étoiles sont alignées (horizontalement, verticalement ou en diagonale).
A B C
1 F
2 F
3 F
Si le joueur gagne, il empoche10fois sa mise, ce qui lui rapporte au nal9e à l'issue du jeu. Dans le cas contraire la mise initiale est perdue par le joueur.
On a le tableau suivant représentant le bilan du joueur et de la société à l'issue d'une partie : bilan pour le joueur pour la société
étoiles alignées +9e −9 e
étoiles non alignées −1e +1e
On dénit les évènements H, V, D, N par :
H ="les trois étoiles sont alignées horizontalement".
V ="les trois étoiles sont alignées verticalement".
D="les trois étoiles sont alignées en diagonale".
N ="les trois étoiles ne sont pas alignées".
1. Justier qu'il y a84positionnements possibles des trois étoiles dans trois des neufs cases.
2. Déterminer les probabilitésP(H), P(V)etP(D). 3. En déduire que P(N) =19
21 '0.9048
4. La société peut s'attendre à ce que10 000parties soient jouées par jour.
Pourk∈N∗, on noteZk le gain de la société à lake partie. On noteZ le gain journalier de la société.
a. Calculer l'espérance mathématiqueE(Zk). A qui le jeu est-il protable ? b. CalculerV(Zk)etσ(Zk).
c. En déduireE(Z)etσ(Z).
3
Partie II. Cas de joueurs invétérés.
1. Un Joueur décide de jouer100parties consécutives que l'on suppose indépendantes.
a. Donner la loi de la variable aléatoireX égale au nombre de parties gagnées.
b. Indiquer, sans calcul,E(X)etV(X).
c. Exprimer la perteT du joueur en fonction deX.
2. Un autre joueur décide de jouer et de miser tant qu'une partie n'est pas gagnée.
On noteY la variable aléatoire égale au nombre de parties jouées jusqu'à la première victoire.
a. Donner la loi de la variable aléatoireY. b. Indiquer, sans calcul,E(Y)etV(Y).
c. Pour tout entier naturel non nuln, montrer que la probabilité pn que le joueur joue au plus n parties avant de gagner pour la première fois, est donnée par pn = 1−
19 21
n . Partie III. Contrôle de la qualité du jeu.
On constate que, parfois, la fonction aléatoire est déréglée.
Dans ce cas, elle place la première étoile dans la case(A,1), les deux autres étant placées au hasard dans les cases restantes.
On considère l'évènement E="la fonction aléatoire est déréglée", et on pose x=P(E), avec x∈]0,1[. 1. Calculer les probabilités conditionnelles PE(H),PE(V)et PE(D).
2. Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'évènement (E, E)pour en déduire que la probabilité que les étoiles ne soient pas alignées est P(N) =−x
84 +19 21.
3. SoitG(x)la variable aléatoire égale au gain réalisé par la société de jeu lors d'une partie jouée.
Déterminer la valeur maximale dexpour que l'espérance de gain soit positive.
4. On joue une partie. On constate que les étoiles sont alignées.
Quelle est la probabilité, en fonction dex, que la fonction aléatoire ait été déréglée ?
4
