Examen d’analyse num´erique 2 mai 2014
Question SCILAB:Sur la premi`ere page de votre copie, ´ecrivez un code scilab (sans utiliser intg ou integrate) permettant le calcul approch´e de chacun des r´eels suivants
I =
100
X
n=1
1
n2 et J =
Z 1 0
sin(x2)dx
Question de cours Donner la d´efinition de la stabilit´e , de la consistance , de la convergence d’un sch´ema et montrer que consistance + stabilit´e entrainent la convergence.
Exercice 1: Calculer la meilleure approximation d’ordre 1 pour la norme uniforme de x 7→tanx−x sur [0,π4].
Exercice 2: Soit f une fonction de classe C3 sur [−1,2].
1) Montrer qu’il existe un et un seul polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a deux ou nul tel que f(0) =P(0), f0(0) =P0(0), P00(1) =f00(1)
2) Calculer les polynˆomes P0, P1 Q1 tels que P0(0) = 1, P00(0) =P000(1) = 0
P1(0) = 0, P10(0) = 1, P100(1) = 0 Q1(0) = 0 =Q01(0), Q001(1) = 1
3) Donner l’expression dePf en fonction des polynˆomes P0, P1 Q1 et de f(0), f0(0), f00(1).
4) Donner une formule d’erreur entre f et Pf. Exercice 3:
Soit f d´efinie sur IR2 par
f(x, y) = cosy x2+y2+ 1 1) Montrer quef est continue.
2) Montrer qu’elle est Lipshitzienne de rapport ≤2 par rapport `ay.
3)On consid`ere l’´equation diff´erentielle
( y0(x) = f(x, y(x)), y(0) = 0
Montrer qu’ il existe une solution au voisinage de 0. Existe t’il une solution d´efinie sur IR ? 4) On consid`ere sur [0, a]×[0, ho] le sch´ema pour h= Na+1
yhn+1−ynh
h = (nh)2+(ycosnhy)nh2+1+h, n ∈[0, N] y(0) =h2
Montrer que ce sch´ema est stable et consistant. Que peut on en d´eduire?
Donner une majoration de l’erreur. Le sch´ema est il d’ordre 2?
1
