le 29 Octobre 2008 UTBM
MT11
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 8 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue
1) Soient E, F, G 3 ensembles. Soient f :E −→F et g :E −→G deux applications.
On d´efinit l’application :
h: E −→ F ×G x 7→ (f(x), g(x))
a - Montrer que
((f injective)∧(g injective)) =⇒(h injective).
[(1 point) oui, si (f(x), g(x)) = (f(y), g(y)) alorsf(x) = f(y). Orf injective donc x =y.]
b - On suppose que f et g sont surjective.h est-elle n´ecessairement surjective ? Sinon, donner un contre exemple.
[(1 point) contre exemple f(x) = x, g(x) = x]
2) Donner la borne sup´erieure et inf´erieure de l’ensemble suivant. Justifier rapidement : A={(−1)n+ 1
n, n∈N∗}.
[(1.5 point) inf(A) = −1, sup(A) = 32]
3) A quelle condition sur m ∈ R, le polynˆome suivant a-t-il deux racines r´eelles dis- tinctes non nulles et de mˆeme signe (justifier) :
P(x) =x2+ (m−2)x−m+ 2.
1
[(1 point) ∆ = (m− 2)(m+ 2) > 0 ssi m ∈]− ∞,−2[∪]2,+∞[. On sait que quand le polynˆome `a deux racines, son terme constant est le produit de ces racines. Le polynˆome `a donc deux racines distinctes de mˆeme signe ssi m ∈]− ∞,−2[.]
4) Les ensembles suivants sont-ils des sous-groupes de (R2,+)? Justifier rapidement.
a) {(x, y)∈R2, x+y= 0}, [(1 point) oui]
b) {(x, y)∈R2, x+y= 1}, [(0.5 point) non]
c) {(x, y)∈R2, xy = 0}, [(0.5 point) non]
d) {(x, y)∈R2, xy = 1}.
[(0.5 point) non]
5) D´eterminer l’ensemble des PGCD de A(X) = X5 +X3 +X2 + 1 et B(X) = X4+X3+ 2X2 +X+ 1.
[(1 point) L’algorithme d’Euclide nous donne {a.X2 +a, a ∈R}.]
2
Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points Soit la matrice
A=
2 0 1
1 0 1
0 −1 1
.
1 - Trouver une matriceP ∈ M3(R)avecdes 1 sur la diagonaletelle que A.P =P.T avec
T =
1 1 1 0 1 1 0 0 1
.
[(1 point) P =
1 0 0
0 1 0
−1 1 1
.]
2 - Trouver l’inverse de P. [(1 point) P−1 =
1 0 0
0 1 0
1 −1 1
.]
3 - Trouver une expression de Tn en fonction de n. Justifier.
[(2 point) Tn =
1 n n.(n+1)2
0 1 n
0 0 1
.]
4 - Exprimer An (n ∈N) en fonction de P, T, P−1 et n. Justifier.
[(2 points)] An = P.Tn.P−1 5 - En d´eduire une expression de An. [(1 point) An =
1 + n.(n+1)2 n− n.(n+1)2 n.(n+1)2
n −n+ 1 n
n− n.(n+1)2 −2n+ n.(n+1)2 −n.(n+1)2 +n+ 1
.]
3
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points Soit la suite d´efinie par r´ecurrence (a ∈R+ fix´e) :
½ u0 ∈ R∗+ un+1 = 12(un+ua
n) On se propose de montrer que un tend vers √
a.
1) v´erifier que ∀n ∈N, un≥0.
[(1 point)]
2) Montrer queu2n+1−a= (u4.u2n−a)2 2 n .
[(1 point) u2n+1 −a = 14(u2n + 2a+ ua22
n)−a = 14(u2n −2a+ ua22
n) = 4u12
n(u4n − 2au2n+a2).]
3) Montrer que pour n≥1, un ≥√ a.
[(1 point) D’apr`es ce qui pr´ec`ede, u2n+1−a > 0 donc u2n+1 > a. Orun+1 > 0 d’o`u le r´esultat.]
4) Montrer que(un)n est d´ecroissante. En d´eduire que (un)n est convergente.
[(1 point) uun+1
n = 12(un + ua2
n). Or ua2
n ≤ 1 d’o`u la d´ecroissance. De plus la suite est minor´ee, elle est donc convergente.]
5) Montrer que la limite de (un)n est √ a.
[(1 point) On r´esout l = 12(l+ al). La seule solution positive est l =√ a.]
QUESTIONS SUPPL´EMENTAIRES. (3 points) 6) En utilisant la relation u2n+1−a= (un+1−√
a).(un+1+√
a), Montrer que un+1−√
a ≤ 1 2.√
a(un−√ a)2.
[(1 point)] la relationu2n+1−a = (u4.u2n−a)2 2
n devient (un+1−√
a).(un+1+√ a) =
(un−√
a)2.(un+√ a)2
4.u2n . Donc un+1−√
a = (un −√
a)2.4.(u 1
n+1+√
a).(un+u√2a)2.
n ≤ (un −
√a)2.2.1√a. 7) Si u0−√
a ≤1, d´eduire de 6) une majoration de la diff´erence un−√
a (n ≥1) en fonction de n et √
a.
[(1 point) Par r´ecurrence, on a un −√
a ≤(2√1a)2n−1] 8) Prenons u0 = 3 et a = 10. Grˆace `a un l’encadrement 3 ≤√
a ≤ 4, montrer que u4 nous donne √
10 avec une pr´ecision d’au moins 6 chiffres ? [(1 point) u4−√
10 ≤ (16)15 ≤ 10−6]
4
