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Lycée Desfontaines Chap.11: Géométrie dans l’espace
S’entrainer plus Correction exercice 9
Exercice 9 :Amérique du Sud, nov 2006 Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal
O;~ı, ~, ~k
, ,on considère les points : A de coordonnées(3 ; 1 ; −5), B de coor- données(0 ; 4 ; −5), C de coordonnées(−1 ; 2 ; −5)et D de coordonnées (2 ; 3 ; 4).
Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse.
Notons que−−→
AB(−3; 3; 0),−−→
AD(−1; 2; 9),−−→
BC(−1;−2; 0)et−−→
BD(2;−1; 9).
1. Les points A, B et D sont alignés.Faux Les coordonnées de−−→
AB et−−→
AD ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs−−→
AB et−−→
ADsont non colinéaires donc les points A, B, Dne sont pas alignés.
2. La droite (AB) est contenue dans le plan d’équation cartésienne :x+y= 4.Vraie
xA+yA = 4etxB+yB = 4doncAetBappartiennent au plan d’équationx+y= 4donc la droite(AB)est contenue dans ce plan.
3. Une équation cartésienne du plan (BCD) est :18x−9y−5z+ 11 = 0.Vraie Remarquons déjà que les coordonnées de−−→
BC et−−→
BD n’étant pas proportionnelles, ces vecteurs sont non colinéaires et donc les pointsB, C, Dforment bien un plan, le plan noté(BCD).
Or18xB−9yB−5zB+ 11 =· · ·= 0, 18xC−9yC−5zC+ 11 =· · ·= 0 et 18xD−9yD−5zD+ 11 =· · ·= 0.
ie les coordonnées deB, CetDvérifient l’équation18x−9y−5z+ 11 = 0.
Donc une équation du plan(BCD)est bien18x−9y−5z+ 11 = 0.
4. Les points A, B, C et D sont coplanaires.Faux
18xA−9yA−5zA+ 116= 0doncA6∈(BCD)doncA, B, CetDsont non coplanaires.
5. La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).Faux d(A,(BCD)) =|18xA−9yA−5zA+ 11|
p182+ (−9)2+ (−5)2 = 81
√4306= 9.
Donc la sphère de centre A et de rayon 9 n’est pas tangente au plan (BCD).
6. Une représentation paramétrique de la droite (BD) est :
x = 1−2k
y = 7
2+k, k∈R
z = −1
2−9k
Vraie.
Soit(∆)la droite de représentation paramétrique
x = 1−2k y = 7
2+k, k∈R z = −1
2−9k .
En prenantk=1
2, on constate queB∈(∆)et en prenantk=−1
2, on constate queD∈(∆).
Donc(∆)est la droite(BD)et donc une représentation paramétrique de(BD)est bien
x = 1−2k y = 7
2+k, k∈R z = −1
2−9k
