Correction exercice 9 – Probabilités Une machine

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 9 1/1 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 9 – Probabilités

Une machine M1 est constituée de deux éléments A et B. Un défaut d’un seul élément suffit à mettre la machine hors service et on exclut toute autre éventualité de panne.

Les défauts éventuels des éléments A et B sont des événements indépendants se produisant avec les probabilités

respectives a=0,1 et b=0,2.

Dans la suite on appellera A l’événement "l’élément A fonctionne"

et B l’événement "l’élément B fonctionne".

On a donc p

( )

^ÒA =0,1 et p

( )

^ÒB =0,2

1. Calculons la probabilité pour que A et B soient hors service en même temps.

A et B sont des événements indépendants donc ÒA et ÒB sont aussi indépendants donc p(AÒ∩ÒB)=p(A)×p(Ò ÒB)=a×b=0,1×0,2=0,02

La probabilité pour les éléments A et B soient simultanément hors service est 0,02.

2. Calculons que la probabilité que la machine M₁ soit hors service.

Soit C l’événement "la machine M₁ est H.S"

Pour que M1 soit H.S., il suffit qu’un des deux éléments A ou B soient défectueux, donc C=ÒA∟ÒB Donc p( C)= p

(

^ÒA∟ÒB

)

=p

( )

^ÒA +p

( )

^ÒB −p

(

^ÒA∩ÒB

)

=a+b−ab=0,28

La probabilité que la machine M₁ soit en panne est 0,28.

3. Calculons la probabilité que la machine M1 fonctionne.

L’événement "M₁ fonctionne" est l’événement contraire de C càd ÒC Or, p

( )

^{CÒ =1−}p( C)=1−0,28=0,72

La probabilité que la machine M1 fonctionne est 0,72

4. Calculons la probabilité de l’événement V : "un seul élément est en panne"

L’événement V est la réunion des événements incompatibles A∩ÒB et ÒA∩B et les événements A et B étant indépendants, les événements ÒA et B d’une part et A et ÒB le sont aussi donc

p( V)=p

(

A∩ÒB

)

+p

(

^ÒA∩B

)

=p( A)×p

( )

^ÒB +p

( )

^ÒA ×p( B)=0,9×0,2+0,1×0,8=0,26 La probabilité qu’un seul élément soit en panne est 0,26 .

5. On suppose que M1 est H.S. Quelle est la probabilité d’avoir un seul élément en panne ? pC( V)=p( C∩V)

p( C) =p( V)

p( C)=0,26 0,28=13

14

La proba d’avoir un seul élément en panne sachant que M₁ est H.S. est 13 14

ÒB B ÒB B

ÒA A

0,2 0,8 0,2 0,8

0,1 0,9

0,02 0,08 0,18 0,72