Correction exercice 14 – Probabilités

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 14 1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Correction exercice 14 – Probabilités

On a posé à 1000 personnes la question suivante :"combien de fois êtes-vous arrivé en retard au travail au cours des deux derniers mois ?".

1. On choisit au hasard un individu de cette population. On suppose donc l’équiprobabilité.

Déterminons la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le premier mois.

572 personnes sur les 1000 interrogées n’ont pas eu de retard le premier mois, la probabilité cherchée est donc p1=1− 572

1000=0,428

La probabilité que cet individu ait eu au moins un retard le premier mois est 0,428 .

Déterminons la probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le premier mois.

Sur les 572 personnes n’ayant pas eu de retard le premier mois, 310 (250+60) ont eu un retard le deuxième mois, d’où la probabilité cherchée est p2=310

572=155

286 ó0,54

La probabilité que l’individu ait eu au moins un retard le deuxième mois sachant qu’il n’en a pas eu le premier est d’environ 0,54.

2. On souhaite faire une étude de l’évolution du nombre de retards sur un grand nombre n de mois. On fait les hypothèses suivantes :

- Si l’individu n’a pas eu de retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,46 - Si l’individu a eu exactement un retard le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1

est 0,66 ;

- Si l’individu a eu au moins 2 retards le mois n, la probabilité de ne pas en avoir le mois n+1 est 0,66.

On note An l’événement "l’individu n’a eu aucun retard le mois n", Bn l’événement "l’individu a eu exactement un retard le mois n" et Cn l’événement "l’individu a eu au moins 2 retards le mois n".

Les probabilités des événements An, Bn et Cn sont respectivement notées pn, qn et rn. D’après l’énoncé, pA_n

(

^An+1

)

^{=0,46, pB}n

(

^An+1

)

^{=0,66 et pC}n

(

^An+1

)

^=0,66

a. Pour le premier mois (n=1), les probabilités p1, q1 et r1 sont obtenues à l’aide du tableau de l’énoncé. Déterminons p1, q1 et r1.

p1= 572

1000=143

250 q1= 318

1000=159

500 et r1= 110

1000= 11 100

b. Exprimons p_n+1 en fonction de p_n, q_n et r_n.

An, B_n et C_n forment une partition de l’univers donc A_n+1 est la réunion des événements incompatibles A_n+1∩An, A_n+1∩Bn et A_n+1∩Cn

D’où pn+1= p

(

^An+1

)

^=p

(

^An+1∩An

)

^+p

(

^An+1∩Bn

)

^+p

(

^An+1∩Cn

)

=pAn

(

^An+1

)

×p

( )

^An +pBn

(

^An+1

)

×p

( )

^Bn +pCn

(

^An+1

)

×p

( )

^Cn

= 0,46pn+0,66qn+0,66rn =0,46pn+0,66

(

^qn+rn

)

pn+1=0,46pn+0,66

(

^qn+rn

)

C. GONTARD – C. DAVID – H. MEILLAUD Proba – Correction ex 14 2/2 c. Montrons que ┐ný0, pn+1=-0,2pn+0,66

pn+1=0,46pn+0,66

(

^qn+rn

)

Or, An, Bn et Cn forment une partition de l’univers donc pn+qn+rn=1 donc qn+rn=1−pn

Donc pn+1=0,46pn+0,66

(

^1−pn

)

^{d’où pn+1=-0,2pn+0,66}

d. Soit la suite

( )

^un définie pour tout entier naturel n non nul par un=pn−0,55.

Démontrons que

( )

^un est une suite géométrique dont on précisera la raison.

┐n, u_n+1=p_n+1−0,55=-0,2p_n+0,66−0,55=-0,2p_n+0,11=-0,2

(

^pn−0,55

)

^=-0,2un

( )

^un est donc une suite géométrique de raison -0,2 et de premier terme

u1=p1−0,55=143

250−0,55=0,022.

D’où ┐n, un=(-0,2)ⁿ⁻¹u1

e. Déterminons lim

n↔+õun et déduisons-en lim

n↔+õpn

-1<-0,2<1 donc lim

n↔+õ(-0,2)ⁿ⁻¹=0 donc lim

n↔+õu_n=0 Or, p_n=u_n+0,55 donc lim

n↔+õp_n=0,55