CORRECTION DE L EXERCICE 2 DE LA FICHE 2 SUR LES VECTEURS.
Dans un repère orthonormé, on donne les points : A( 3 2), B( 2 4), C(1 5) et D(0 3).
1. AB
2 ( 3)
4 2 donc AB
1
2 et DC
1 0
5 3 donc DC
1 2 . AB DC donc ABCD est un parallélogramme.
Remarque : on a vu dans le chapitre sur la géométrie plane qu on peut montrer que ABC D est un parallélogramme en utilisant les milieux :
Soit I le milieu de [AC]. xI
3 1
2 1 et yI
2 5 2
7
2 donc I
1 7
2 . Soit J le milieu de [BD]. xJ
2 0
2 1 et yJ
4 3 2
7
2 donc J
1 7
2 .
I et J sont confondus : les diagonales [AC] et [BD] de ABC D ont le même milieu donc ABCD est un parallélogramme.
2. F est le point de coordonnées (0 8).
L abscisse de F est 0 donc F est un point de l axe des ordonnées.
Montrons que F est un point de la droite (AB) : AF
0 ( 3)
8 2 donc AF
3
6 et AB
2 ( 3)
4 2 donc AB
1 2 . det(AF;AB) =
3 1
6 2 3 2 1 6 0 donc les vecteurs AF et AB sont colinéaires. Ainsi, A,B et F sont alignés et donc F est un point de la droite (AB).
Remarque : on peut remarquer que AF 3AB donc AF et AB sont colinéaires.
Alors, F est le point d intersection de l axe des ordonnées et de la droite (AB).
3. On note E le point d intersection de la droite (B D) et de l axe des abscisses.
a. E est un point de l axe des abscisses donc son ordonnée est 0.
Ainsi E(x 0).
b. E est un point de la droite (BD) donc les vecteurs BE et BD sont colinéaires.
BE
x 2
4 et BD
2
1 .
BE et BD sont colinéaires donc
x 2 2
4 1 0
donc (x 2)( 1) 2 ( 4) 0 donc x 2 8 0
donc 6 x. Ainsi E(6 0).
det(2;x+2;2; 4; 1)
4. Soit H(x y) le point d intersection des droites (AC) et (EF).
H est un point de (AC) donc AH et AC sont colinéaires.
AH
x 3
y 2 et AC
4 3
On a donc
x 3 4
y 2 3 0, c'est-à-dire 3(x 3) 4(y 2) 0 et donc 3x 4y 17.
H est un point de (EF) donc EH et FE sont colinéaires.
EH
x 6
y et FE
6
8 . On a donc
x 6 6
y 8 0, c'est-à-dire 8(x 6) 6y 0 et donc 8x 6y 48.
On a alors à résoudre le système (S) :
3x 4y 17
8x 6y 48
(S)
9x 12y 51
16y 12y 96 (on multiplie l équation 1 par 3 et la 2 par 2)
9x 12y 51
25x 45 (on ajoute les deux équations)
9x 12y 51 x 1,8
9 1,8 12y 51 x 1,8
12y 67,2 x 1,8
y 5,6 x 1,8 Donc H(1,8 5,6).
