Géométrie Chapitre 2

Texte intégral

(1)Géométrie. Chapitre 2. Dessin de Alexandre Youssef et Andrei Lucian Stefan. Notes de cours et exercices. Mathématique CST5 Collège Reine-Marie 2019-2020. Nom : ___________________________________ Groupe : _______.

(2) NOTES DE COURS. 2. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(3) 1. RAPPELS. Calculatrice en mode « degré ». A) Noms des polygones réguliers 3 côtés 5 côtés 7 côtés 9 côtés 11 côtés. Triangle équilatéral Pentagone régulier Heptagone régulier Ennéagone régulier Hendécagone régulier. 4 côtés 6 côtés 8 côtés 10 côtés 12 côtés. Carré Hexagone régulier Octogone régulier Décagone régulier Dodécagone régulier. B) Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle. Les rapports trigonométriques sont utilisés dans les triangles rectangles. o. sinus 𝐴. sin 𝐴. o. me e d cô é o é à ang e me e de o én e. . .. me e d cô é ad acen à ang e me e de o én e. cosinus 𝐴. cos 𝐴. ad .. tangente 𝐴. tan 𝐴. .. o. me e d cô é o é à ang e me e d cô é ad acen à ang e o. .. ad .. C) Loi des sinus. La loi des sinus peut être utilisée dans tous les types de triangles. 𝑎 sin 𝐴. www.madameblanchette.com. 𝑏 sin 𝐵. 𝑐 sin 𝐶. Collège Reine-Marie. 3.

(4) D) Loi des cosinus. La loi des cosinus peut être utilisée dans tous les types de triangles. 𝑎2 𝑏2 𝑐2. 𝑏2 𝑎2 𝑎2. 𝑐2 𝑐2 𝑏2. my. 2𝑏𝑐 cos 𝐴 2𝑎𝑐 cos 𝐵 2𝑎𝑏 cos 𝐶. E) Exemples de recherche de mesure manquante dans un triangle. Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants. b) SOHCAHTOACOSE op.pe. a). hyp. µ. app. hyp. i. adjsin.B P f. R. hyp cost L 8,5. l. MLE. ag. X 12sin32. MLE245,10. XX 6,36cm c). d). laidessinus. loidescos. Aï. ?. a. Cos. é a4b 2abcosc. E 84522850535. ü. b. sina.si 2,6. E46 a.az. sina.X. sinc 96sin250. 4. sinon0,9103 65,50 MLCes.in 0,9103 Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(5) e). f) Sachant que 𝑚𝐴𝐶 12,47 𝑑𝑚, trouve la e e de a g e C.. loidescos c. a. µ. pff tgfE2bceosAfz.Ts K.bg y. à. COSA a. fËÎÏÈ Ax43. ËË. F) Ai e d n. Formule de Héron : 𝐴. mLCricos 0,9173 MLLE23,50. in 2. 𝑑 𝑑. 𝑎 𝑑. in. in. 2. 2. 𝑏 𝑑. G) E emple de eche che d ai e dan. 𝑐 , où 𝑑 est le demi-périmètre, soit 𝑑. n. e a e de triangles suivants.. f. zab. 2. Formule trigonométrique : 𝐴. A. of. COSCLO9173. z. m. iangle q elconq e. Formule générale : 𝐴. T a). eosc E. a. b.si. Aîthatan. 2. iangle. Formuledettéron. cDYzpe. 2. A tR5aÊinb. www.madameblanchette.com. b). + +. a. d. rimetre. 15,4 232723,4. 31 25cm. b. AxMIpstom Collège Reine-Marie. 5.

(6) c). d) Le triangle suivant est isocèle.. A. b. e). Z. é. a. x. m. A b. 1 mesuredescathètes. C. l. 168cm. 28z. 2. B. X. Aire. 2. Es 2. 312.5T. et 68dm. A b 1768217,68 2 156,29dm. SOH CAHTOA. f). A. A. c. 11,28 m. B. x. C. 1 mB. 2. tanB. oppe. adj. tankx X ÜFH3m g) A. C. Aire A b1 2 A top. 1. ÊËËË. a. my. 180415407 250 2 Airectomuletrigonométrique. A a. z A 85,8mL. Dino. 1. 2. iB. A 8.14285in. ÊÉ. ma. sinB H.sinzgoDTAtelfohmdetrigdcp.am Tz A a bsine. ÀB psi. 6. sine 0,7183 MLBesin 0,7183. MLBI45,90. 2. A R 14. to. szin96. AK83,52Ù. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(7) h) T. e a e de he ag. ËË. e. g e. a .. Ë. 20. LedABcestéquilatéral. 3. 3côtés. sangles. 5 Aire hexagone. 4 AireOABC. A a b.si. 6.173,212. 1039,26W. 2. A 20.20jsinboxnzp.lu )T. e a ed. ËÜË A. JE. 10cm. d d cag. 12côtés. e régulier ayant un périmètre de 120 cm.. î. üam. 2 MLA. 36712. 10. 300. 3 MLBetmcc. 1. 770 b 10 sins 0. sin30. 30 150. bxl932cmb. IAiredodecagone. A. a.bz. R. A 10 19,32 15.12 www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. Axl. 9cm. 7.

(8) 2. Lignes, figures et solides équivalents A) Lignes équivalentes. Deux lignes sont équivalentes si elles ont la même longueur.. Exemple : Ces deux lignes sont équivalentes, car elles mesurent toutes les deux 5 cm. 5 cm 5 cm. B) Figures équivalentes. Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire.. Exemple : Ce rectangle et ce triangle sont des figures équivalentes, car ils ont la même aire.. 𝐴. ec ang e. 𝑏. ℎ. 4. 6. 𝐴. iang e. 2. 24 𝑐𝑚2. 8. 2 4 12. 24 𝑐𝑚2. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(9) C) Solides équivalents. Deux solides sont. ae. e. e. e.. Exemple : Cette boule et ce cylindre circulaire droit sont des solides équivalents.. 𝑉. 4 o e. 𝑉c. 3 4. 6. 𝜋𝑟 2 𝜋. 3. 288𝜋 𝑐𝑚. ind e. 3. ℎ 42. 288𝜋 𝑐𝑚. 18 3. D) Exemples de problèmes sur les figures et solides équivalents a) Trouve la mesure manquante, sachant que les figures sont équivalentes.. Lestiguresplanes équivalentes ont. DAiredutrianglé A bh 2. A 5. 10cm. www.madameblanchette.com. la même aire. 2 mesurecôtécarré c. NE. Cezllocm. Collège Reine-Marie. 9.

(10) b) Trouve la mesure manquante, sachant que les solides sont équivalents.. ont le mêmevolume solides équivalents Les DVdumecylindre. hs VI 22.2 Tt. DRayonbouKV. 4Tr3Vg. fppp.rs. 8T. 4 81T cm3. c). 24T. Tt. 1F. 24. Izz. 4Mf 3. s Quelles sont les dimensions du cube équivalent à ce prisme droit? rs. 91. F6 rF 482 er. A. x. 1 Volume prisme a. Airetriangte. b Volume. Kpérimètre 5 d 10 726 11,3dm. 10. ftp.hsc. ff18,512,24 444643. À. q. CX396dmA F. Are A. 2 côtécube. x. tfd bd.TT. Il 3 11,3 10 11,3 7 6 11,3 5. AXIS 51dm. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(11) 3. Propriétés des figures et des solides équivalents. De tous les polygones équivalents à n côtés, c e périmètre.. e polygone régulier qui a le plus petit. Exemple :. De deux polygones réguliers et convexes équivalents, c e qui a le plus petit périmètre.. e polygone ayant le plus de côtés. Exemple :. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 11.

(12) De tous les prismes rectangulaires ayant la même aire totale, c e volume.. e cube qui a le plus grand. Exemple :. De tous les solides ayant la même aire totale, c e. a boule qui a le plus grand volume.. Exemple :. 12. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(13) De tous les prismes rectangulaires équivalents, c e. e cube qui a la plus petite aire totale.. Exemple :. De tous les solides équivalents, c e. a boule qui a la plus petite aire totale.. Exemple :. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 13.

(14) De e e grande aire.. g e fe. e. ae e , ce. e cercle qui délimite la région ayant la plus. Exemple :. Exemple :. C aa disque.. A = 4 cm² P ,12 cm. 14. de. e P e de a e A de. A = 4 cm² P = 8 cm. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. A = 4 cm² P ,28 cm. g. e. g e. e d. A = 4 cm² P ,0 cm. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(15) Exemple :. Sachant que tous ces solides ont la même aire totale, indiquez celui qui a le plus grand volume.. a). Exemple :. b). c). d). Les trois fenêtres ci-dessous couvrent toutes la même surface. Laquelle d e elles possède le plus petit périmètre? Quel est ce périmètre?. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. e. 15.

(16) Exemple :. 16. Monsieur et madame Biron planifient de construire une pergola dans leur jardin. Madame Biron a-t-elle raison de croire que, si la base de la pergola avait la fo e d hexagone régulier de 9 m2 d a e e ce e d carré de même aire, son périmètre serait inférieur? Serait-il possible de donner une autre forme à la base de a eg a e e a da e e c e plus petit? Quel serait ce périmètre?. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(17) EXERCICES. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 17.

(18) RAPPELS 1. Trace dans le triangle ci-contre : - une hauteur (h) - une médiatrice (m) - une bissectrice (b) 2. a) Colorie en gris une face de ce cube. b) Marque ses sommets au moyen d c) Indique combien ce de de d a. be . e .. 3. a) Trace en bleu la hauteur de chacun de ces solides. b) Donne le nom de chaque solide.. 4. Trace en couleur un apothème sur chaque forme.. 5. Indique au moyen du signe conventionnel chaque fois que deux droites ou deux segments se coupent à angle droit.. Triangle rectangle. Rectangle Pentagone régulier Parallélogramme 18. Triangle isocèle Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Pyramide régulière droite Carré. Trapèze rectangle Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(19) 6. Ca c e a e de a. face g. e.. 22 cm. 7. Ca c e a e de a. face b a che.. 21 cm 62 cm. 8. Ca c e a e de a. face b a che.. 29 cm. 25 cm. 56 cm. 9. Ca c e a e de a. face g. e.. 33 cm 86 cm. 10. Q e. e a e da 53 cm. ed. d. e. a a a. e surface que ce rectangle?. 19 cm. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 19.

(20) 11. Ca c e a e de a. face b a che. 6 cm. 33 cm. 12. Combien met-on de cubes de bois (arête = 10 cm) dans une caisse dont les dimensions sont : 2,5 m / 28 dm / 150 cm ?. 13. O d e e e c e d ca (12 400 litres) dans une citerne de forme cylindrique. Diamètre de la citerne : 3 m, longueur : 6 m La citerne est-elle assez grande pour recevoir le contenu du camion?. 14. Calcule le volume de ce bloc de béton troué. Longueur : 23 m Largeur et hauteur : 12 m Diamètre du trou : 6,5 m. 20. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(21) 15. Pyramide à base carrée a. Ca c e a e de a ba e. b. Calcule son volume. c. Calcule la longueur de son apothème. d. Calcule son aire latérale. e. Calcule son aire totale.. 16. Pyramide à base carrée a. Ca c e a e de a ba e. b. Calcule la hauteur de la pyramide. c. Calcule son volume. d. Calcule son aire latérale. e. Calcule son aire totale.. 17. Cône a. Ca c e a e de a ba e. b. Calcule son volume.. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 21.

(22) Exercices supplémentaires Tiré des suppléments de Point de Mire CST5. 18.. a de de a. de c. ,d e. e chac. e de. e. e. a. a e .. a). b). c). 19. Résolvez chacun des triangles. (Trouvez toutes les mesures de côtés et toutes les mesures d a g e ). a). 22. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(23) b). 20. Le schéma montre deux personnes faisant voler chacune un drone à partir du même endroit. Quelle distance sépare les deux drones?. 21. O a e ce de a e a a e de cette pièce est de 20,3 dm2, d e. www.madameblanchette.com. a fab ca e a e. d h c e. Sacha e de a g e C.. Collège Reine-Marie. e. 23.

(24) 22. U e f g e f e de de a ge e d c a e , c e -à-d e la partie rectangulaire?. 24. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. ec a g e e e. e. Le oints A, B et C e d e. Q e e e a e de. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(25) 23. A a b a b e e a e a e e, e c ae hc e lourd est passé dessus. Voici les caractéristiques de la bouteille isolante avant et après c de .. Cylindre circulaire droit V=? Sacha e a. V. e a ed ee eda e de a b 𝐴e. www.madameblanchette.com. Cylindre elliptique droit e= e e a a. e e ca c e a de de a f e ea a c de .. mesure du grand axe i. e. ule suivante, déterminez. mesure du petit axe 4. Collège Reine-Marie. c de. 𝜋. 25.

(26) 24. Complétez chacun des énoncés. a) De. e. g. e. ae. c. , ce. e ___________________________. qui a le plus petit périmètre. b) De tous les prismes rectangulaires ayant la même aire to a e, c e. ________________. qui a le plus grand volume. c) De deux polygones réguliers équiva e. , ce. ________________________________. ______________________ qui a le plus petit périmètre. d) De. e. de a a. a. ea e. a e, c e. ________________ qui a le plus. grand volume. e) De. e. e. ec a g a e. ae. , ce. __________. a a. e e. aire totale. f) De. e. de. ae. ,ce. _______________. a a. g) De toutes les lignes fermées équiva e e , c e _______________. e ea e d. e a. a e. g. ayant la plus grande aire. 25. Ordonnez ces polygones réguliers équivalents par ordre croissant de périmètre.. 26. C a. 26. e ce. de. ae. a. ded c. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. a. da e. a e.. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(27) 27. Quelle est la g e une aire de 100 dm²?. 28. P ace ce. e d a. ae d. g e e ha e .. e g e. a. ae. a. c c. dec. c e. a. e fg e. da e. a ea a. a e acha. 29. Un centimètre cube de beurre a une masse de 0,9 g. On veut emballer des mottes de be e de 454 g a a a f ed ed ba e ec a g a e a de de a e da .Q e ee a e ae d a e da e e ba e e de ces mottes de beurre?. 30. Des canettes contenant chacune 355 ml de boissons gazeuse ont la forme de cylindres c c a e d d a ha e e e 12 c . Sacha e d ce ca e e e boîtes de 12 canettes disposées debout et côte à côte et que 1 ml équivaut à 1 cm³, d e e a e a e d ca e fab e ce b e .. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 27.

(28) 31. Da e a d d , e ba e da e pellicule de plastique des piles de 12 livres comme celui qui est illustré avant de les envoyer dans les librairies. Si on disposait plutôt les livres de façon à utiliser une a a e d e ba age, e e ea , e ce age, a a d e ba age c e?. 28. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(29) LE PRIX DE LA TRANSPARENCE MARC TISON LA PRESSE. 23 octobre 2016 Section finances, écran 2. CE N EST QU UNE SIMPLE BRIQUE DE FROMAGE POURTANT Mais on l a ale de tra ers comme ne a tre d monstration s il en fallait des d to rs d marketing. Autrefois, ces petites briques compactes pesaient 400 g. Pour ne pas faire fuir leurs clients avec les hausses de prix, les producteurs ont graduellement réduit le format j sq ce q il atteigne o g. La brique a sensiblement conservé la même surface, mais son épaisseur a diminué proportionnellement. Et voilà que sont réapparus des formats de hé ! oui 400 g. Mais attention Il s agit cette fois de formats « familiaux », ce dont témoigne la longueur démesurée de ladite briq e presq e de fois pl s long e q e le format de g d il a q elq es ann es R s ltat ils sont pl s encombrants dans le frigo mais s rto t l emballage en raison de sa longueur, utilise deux fois plus de plastique que les anciens formats. Bref, pour un même poids de fromage, le marketing, par un chemin tortueux, a réussi à nous faire payer davantage pour le conditionnement. Or, le principe du format familial devrait justement consister à payer moins cher au poids ou au ol me parce q e l emballage est proportionnellement moins important La question : le marketing pourrait-il nous considérer comme des consommateurs sagaces, capables de faire la part des choses ? SOMMES-NOUS PRÊTS À ACCEPTER UNE HAUSSE DE PRIX ? Le sous-dimensionnement est la réponse habituelle au dilemme de la hausse de prix. « Les fabricants s rto t les grandes marq es ont tilis l arg ment q e dep is la crise conomiq e c tait po r e le mo en de contin er d offrir le rs consommate rs le rs prod its n pri inférieur », informe Fabien Durif, vice-do en la recherche l École des sciences de la gestion de l Uni ersit d Q bec Montr al et directe r de l Obser atoire de la consommation responsable. « À la ig e n e di e e le ma e e len a e e le gen i n m in d a gen i en c n in e c n mme le d i Mai d n a e c le d i le e ien bea c l che a ce il e en l faible an ité e e l emballage e ien plus cher. » Fabien Durif Ce sous-dimensionnement peut être camouflé de diverses manières qui ont été largement dénoncées, notamment dans le rapport présenté en 2013 au Bureau de la consommation d Ind strie Canada par Option consommateurs. Les boîtes de biscuits vides au tiers et les contenants au fond concave sont bien connus. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 29.

(30) Autre stratégie, « on a d to rner l attention d consommate r s r n a tre attrib t d prod it », explique Bernard Korai, professeur adjoint au département d conomie agroalimentaire et des sciences de la consommation de l Uni ersit La al et tit laire de la chaire CLÉ en consommation et développement durables. « Le produit pesait peut-être 500 mg, et vous le réduisez peut-être à 300 mg, mais en contrepartie, vous dites au consommateur que le produit est trois fois plus efficace, évoque Bernard Korai. Le consommateur se dit : le conditionnement est r d it mais par contre j ai n prod it q i est encore plus efficace. Il est dans une optique de justification de son acte. » Autre tactique, le nouvel emballage réduit se présente en même temps comme plus écologique. En principe la pratiq e n est pas ill gale Le poids o le ol me doi ent to jo rs tre indiq clairement s r l emballage. s. « Mais on augmente le prix sans en aviser directement le consommateur, déplore Sylvie De Bellefe ille conseill re j ridiq e che Option consommate rs Il n a pas de fa sse repr sentation dans la mes re o c est indiq s r ma bo te de c r ales o mon pot de ogo rt Le probl me c est q on ne met pas l accent s r le fait q on a enle g dans ma boîte. » APPEL À L INTELLIGENCE Le marketing doit-il prendre le consommateur pour un âne incapable de faire la part des choses ? Pourquoi les entreprises ne prennent-elles pas la voie de la transparence, qui serait plus avantageuse pour le consommateur : pas de co te ses modifications d emballage et de ligne de production, format plus avantageux ? Bref, pourquoi ne pas faire appel à son intelligence ? « Les gens sont très sensibles au prix », fait valoir Sylvie De Bellefeuille. L a dacie se entreprise q i empr nterait la premi re la oie de la transparence courrait le risque de voir déserter une partie de sa clientèle. « La marq e ce q elle e t c est ne pas perdre son client, indique Fabien Durif. Elle ne veut pas q e son client commence s habit er ne marq e q i co te moins cher une marque bas de gamme et q elle le perde jamais » Au Québec, les supermarchés doivent afficher le prix du produit par unité de poids ou de volume, rappelle-t-il Tr s rares sont les achete rs q on oit se pencher s r le rebord d ra on po r décrypter cette information. « Oui, le marketing peut prendre le consommateur pour un consommateur plus ou moins intelligent mais c est a ssi a consommate r prendre ses propres responsabilit s Il a ne réflexion à faire, et les consommateurs, souvent, entrent dans le jeu trop rapidement. ». 30. Chapitre 2 – Géométrie Mathématique CST5. Document créé par Meggie Blanchette et Julien Laurencelle.

(31) Réponses de la section « Exercices » 1. à 5. Le corrigé sera disponible en classe… 6. 380,13 cm² 7. 955,64 cm² 8. 571,63 cm² 9. 1 729,80 cm² 10. 35,81 cm 11. 508,94 cm² 12. 10 500 cubes 13. Oui, car 42 411 dm³ > 12 400 litres 14. 2 548,79 m³ 15. a) 8 100 cm² b) 437 400 cm³ c) 168,13 cm d) 30 264,10 cm² e) 38 364,10 cm² 16. a) 14 400 cm² b) 214,78 cm c) 1 030 927,82 cm³ d) 53 520 cm² e) 67 920 cm² 17. a) 22 698,01 cm² b) 1 437 540,44 cm³ 18. a) 7,47 𝑐𝑚 b) 52,32° c) 74,77° 19. a) 𝑚𝐴𝐵 7,45 𝑐𝑚 𝑚∠𝐴 78,06° 𝑚∠𝐵 43,94° b) 𝑚∠𝐵 54,55° 𝑚∠𝐴 54,55° 𝑚∠𝐶 70,9° 20. 44,76 𝑚 séparent les deux drones. 21. 45,27° ou 23,45° (deux réponses possibles) 22. 𝐴 1336,004 𝑐𝑚2 ou 𝐴 1335,2 𝑐𝑚2 selon les arrondissements durant le problème. 23. Le diamètre de la bouteille avant l’incident était d’environ , 1 cm. 24. a) Polygone régulier b) le cube c) polygone ayant le plus de côtés d) la boule e) le cube f) la boule g) le cercle 25. E – C – B – F – A – G – D 26. D – A – C – F – B – E 27. La longueur minimale de la ligne est d’environ , dm. 28. D – B – F – A – E – C 29. L’aire minimale du papier requis pour emballer une motte de beurre est d’environ 0,21 cm . 30. L’aire minimale du carton requis pour fabriquer une boîte est d’environ 1 935,07 cm².. www.madameblanchette.com. Collège Reine-Marie. 31.

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