D 1936 Du pareil au même
Le cercle inscrit d’un triangle ABC touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F.La parallèle menée de F au côté BC coupe le côté AC en G.Les segments BG et CF se coupent en un point P.
Les cercles circonscrits aux triangles BFP et CGP se coupent en un deuxième point Q. Démontrer que les droites AQ et DA sont toutes deux des symédianes l’une dans le triangle ABC, l’autre dans le triangle DEF.
La médiatrice du segment EF passe par A, par le milieu M du segment EF et coupe le cercle (DEF) en I et J.
Les droites perpendiculaires DI et DJ sont les bissectrices de l'angle EDF. La polaire de A par rapport au cercle (DEF) est la droite EF . Donc IJAM sont en division harmonique. Les droites DI,DJ,DA,DM forment un faisceau harmonique. Comme DI et DJ sont perpendiculaires, elles sont bissectrices de l'angle MDA.
DA est donc une symédiane dans le triangle DEF.
La polaire, par rapport aux droites AB et AC, du point à l'infini dela direction BC est la droite AP, donc la droite AP coupe BC et FG en leurs milieux. Pour tout point X de la droite AP on a :
(distance de X à AC)/(distance de X à AB) = AB/AC.
Les triangles QBF et QGC sont directement semblables car :
(QB,QF)=(PB,PF)=(PG,PC)=(QG,QC) et (BQ,BF)=(PQ,PF)=(PQ,PC)=(GQ,GC) Le rapport de similitude est GC/BF = AC/AB = (distance de Q à AC) / (distance de Q à AB) Les droites AP et AQ sont donc symétriques par rapport à la bissectrice de BÂC.
Dans le triangle ABC, la droite AP est une médiane. La droite AQ est une symédiane dans le triangle ABC...
Remarque :
Dans la figure ci-dessous, la droite FG est une parallèle quelconque au côté BC du triangle ABC. Le centre de la similitude Q qui applique C en F, et G en B, est construit comme 2ème point d'intersction des cercles (ACF) net (AQB). Il n'est plus question du cercle inscrit dans le triangle ABC ni des points de contact D, E.
Les mêmes raisonnements s'appliquent et AQ est encore symédiane pour le triangle ABC ( ou AFG )
