D 1964 un parallèlogramme qui tombe a pic

D 1964 un parallèlogramme qui tombe a pic

Le cercle inscrit d’un triangle ABC a pour centre I et touche les côtés BC,CA et AB aux points D,E et F. M étant le milieu de BC, la droite MI coupe la hauteur AH au point P. La droite DE coupe au point Q la parallèle issue de A au côté BC. La droite FQ coupe le cercle inscrit au point K.

Démontrer que APIK est un parallélogramme.

1°) Preuve que IK est parallèle à AP :

Angle BDK = BDF + FDK Dans le triangle isocèle DBF, angle BDF = (∏ – B)/2 FDK est un angle inscrit interceptant l'arc FK donc angle FDK = AFK = AFQ.

L'homothétie négative de centre E et de rapport – EQ/ED transforme le cercle DEF en un cercle tangent en E à AC et en Q à AQ, de sorte que les 3 segments AF, AE, AQ ont même longueur.

Le triangle FAQ est isocèle et angle AFQ = (∏ – FAQ)/2, mais angle FAQ = ∏ – B, d'où angle FDK = B/2

Angle BDK = BDF + FDK = (∏ – B)/2 + B/2 = ∏/2

Donc DK est perpendiculaire à BC, I est sur DK, AP et IK sont parallèles.

2°) Preuve que longueur AP = longueur IK :

r désignant le rayon du cercle DEF, HP/r = MH/MD ( homothétie de centre M ), MH = MB – BH = a/2 – c cos B MD = MB – BD = a/2 – (p-b) = (b-c)/2 HP/r = (a/2 – c cos B)/[(b-c)/2] = (a – 2c cos B)/(b-c)

mais 2c cos B = (a²+c² – b²)/a d'où HP/r = [a – (a²+c² – b²)/a]/(b – c) , HP/r = (b+c)/a D'autre part , Surface ABC = ½ AH.BC = p.r d'où AH/r = 2p/a

AP/r = AH/r – HP/r = (a+b+c)/a – (b+c)/a = 1, AP = r, longueur AP = longueur IK .

APIK est donc un parallèlogramme. Il tombe à pic !