TD 13 : Révisions sur le produit scalaire et les espaces euclidiens

http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_euclidiens.pdf

TD 13 : Révisions sur le produit scalaire et les espaces euclidiens

Produits scalaires avec des questions de convergence

Exercice 1.

(a) Démontrer que l’ensembleE=

½

(un)nÊ0∈R^N| X

nÊ0

u_n²converge

¾

est unR-espace vectoriel.

(b) Pouru=(un)_nÊ0etv=(vn)_nÊ0appartenant àE, on définit ϕ(u,v)=

+∞X

n=0

u_nv_n

Démontrer queϕest un produit scalaire surE. Exercice 2.Démontrer queϕ: (P,Q)7→

Z _+∞

0

P(t)Q(t)e^−tdtest un produit scalaire surR^[X].

Exercice 3.

(a) Démontrer que pour toutn∈N, l’intégrale Z 1

−1

tⁿ

p1−t²dtconverge.

(b) Démontrer que l’applicationϕ: (P,Q)7→

Z 1

−1

P(t)Q(t)

p1−t² dt est un produit scalaire surR^[X].

Projections orthogonales

Dans les exercices qui suivent, répondre à la question « déterminer le projeté orthogonal » est un bon objectif.

Exercice 4.DansR²muni du produit scalaire canonique, déterminer le projeté orthogonal de u=¡₁

1

¢surD=Vect¡₁

2

¢. En déduire la distance deuàD.

Exercice 5.On considèreE=Rn[X] et on définit une applicationϕsurE×Epar :

∀(P,Q)∈E×E,ϕ(P,Q)= Z 1

−1

P(t)Q(t) dt (a) Démontrer queϕest un produit scalaire surE.

(b) Démontrer que la famille (1,X) est orthogonale. En déduire le projeté orthogonal deX²sur R1[X].

(c) On prend dans cette questionn=2. Déterminer la matrice dans la base canonique deEde la projection orthogonale surR1[X].

Exercice 6.On considère l’espace vectorielE=Mn(R^{) et pourA,B}∈Eon définit : ϕ(A,B)=tr(A^>B)

(a) Démontrer que si on noteA=(a_{i j}) etB=(b_{i j}), alors : ϕ(A,B)=

n

X

i=1 n

X

j=1

ai jbi j

En déduire queϕest un produit scalaire surE.

(b) On poseJ= µ_1···1

... ...

1···1

¶

. Déterminer un réelαtel que les matricesJ−αInet Insoient orthogonales.

(c) On poseK=

Ã_{(0) 1} ...

1 (0)

!

. Déterminer le projeté orthogonal deK sur Vect(In,J).

Exercice 7(D’après oral CCP, PC, 2018). On munitR⁴du produit scalaire canonique. DansR^{4, on} définit le planP par les équations

½ x−y+z+t=0 x−y−2z−t=0 (a) Trouver une base orthonormale du planP.

(b) Déterminer le projeté orthogonal du vecteuru=(1, 0,−1, 0) sur le planP. (c) Déterminer la distance du vecteuru=(1, 0,−1, 0) au planP.

Exercice 8.On considèreE=C([−π,π],R) et on définit une applicationϕsurE×Epar :

∀(f,g)∈E×E,ϕ(f,g)= Z _π

−πf(t)g(t) dt (a) Démontrer queϕest un produit scalaire surE.

(b) Soitula fonction constante égale à 1. Déterminer le projeté orthogonal deusurF=Vect(sin, cos).

(c) Déterminer la distance deuàFet en déduire inf

a,b∈R

Z _π

−π(1−acos(t)−bsin(t))²dt. Exercice 9(D’après oral Centrale, PSI).

(a) Démontrer que l’applicationϕ: (P,Q)7→

Z _+∞

0 e^−tP(t)Q(t) dtest un produit scalaire surR^[X].

(b) Déterminer le projeté orthogonal deX²surR1[X].

(c) Déterminer la distance deX²àR1[X] et en déduire la valeur de inf

½Z _+∞

0

e^−t(t²−at−b)²dt, (a,b)∈R²

¾

Inégalité de Cauchy-Schwarz

Exercice 10.

(a) Écrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz dansRⁿpour le produit scalaire canonique pour deux vecteursx=(x₁, . . . ,x_n)∈Rⁿety=(y₁, . . . ,y_n)∈Rⁿ.

(b) En déduire que poura1, . . . ,an∈R^{+∗tels quea}1+ · · · +an=1, on a :

n

X

i=1

1 ai Ên²

et étudier le cas d’égalité.

Exercice 11.

(a) Soientaetbdeux réels aveca<b. On considère l’espace vectorielE=C([a,b],R) des fonctions continues sur [a,b] et on définit une applicationϕsurE×Epar la relation :

∀f,g∈E,ϕ(f,g)= Z b

a

f(t)g(t) dt Démontrer queϕest un produit scalaire surE.

(b) Écrire l’inégalité de Cauchy-Schwarz pour ce produit scalaire pour deux fonctions f et g éléments deE. En déduire que pour une fonctionu∈Estrictement positive sur [a,b] :

Z b a

u(t) dt× Z b

a

1

u(t)dtÊ(b−a)².

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Indications

Ex 1. (a) On pourra utiliser une majoration de|unvn|faisant interveniru_n²etv_n². Ex 2. Démontrer que¯

¯P(t)Q(t)e^−t¯

¯= o

t→+∞

¡e^−t/2¢

(par exemple).

Ex 3. Démontrer que pour commencer que l’intégrale Z 1

−1

pdt

1−t² converge.

Ex 9. (a) Penser à établir la convergence de l’intégrale. (b) Il sera utile de calculerR_+∞

0 tⁿe^−tdt.