TD sur: Espaces euclidiens
Exercices ` a chercher
. Exercice 1 :
Soit n un entier naturel non nul.
1. Montrer, en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz que, pour tout (a1;· · ·;an) de R?+
n
, on
a : n
X
i=1
1 ai
!
×
n
X
i=1
ai
!
>n2.
2. D´eterminer le minimum de
n
X
i=1
1 ai
!
×
n
X
i=1
ai
!
quand (a1;· · ·;an) d´ecrit R?+
n
.
. Exercice 2 :
Soit n un entier naturel non nul. Pour tout sous-ensemble A de Rn, on d´efinit l’orthogonal de A, ensemble not´e A⊥, par :
A⊥={u∈Rn tel que :∀ a ∈A,hu, ai= 0}.
1. Montrer que, pour tout sous-ensemble A deRn,A⊥ est un sous-espace vectoriel deRn. 2. On pose E1 = Vect ((1; 2; 0; 1); (0; 1; 3; 2)).
(a) Soit −→u un vecteur de R4. Montrer l’´equivalence :
−
→u ∈E1⊥⇐⇒ h−→u ,(1; 2; 0; 1)i=h−→u ,(0; 1; 3; 2)i= 0.
(b) En d´eduire E1⊥.
. Exercice 3 :
Soit E = Vect ((1,−1,2),(1,0,1)), un sous-espace vectoriel de R3. 1. D´eterminer une base orthonormale de E.
2. Donner une base orthonormale de E⊥, l’orthogonal de E, ensemble d´efini par : E⊥ =
u∈R3 tel que : ∀ e∈E,hu, ei= 0 .
3. D´eterminer la matrice canoniquement associ´ee de la projection orthogonale psur E.
4. Justifier l’existence d’une base orthonormale C de R3 telle que la matrice de p dans la base C soit une matrice diagonale et d´eterminer une telle base.
soit
. Exercice 4 :
Dans cet exercice, pour toutideJ1,2K, on veut trouver une matricePiinversible telle quetPi×A×Pi soit diagonale avec :
A1 =
4 3 3 −4
et A2 =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
.
. Exercice 5 :
Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice canoniquement associ´ee est :
M = 1 6
4 −√
6 −√ 2
−√
6 3 −√
3
−√
2 −√
3 5
.
Montrer quef est une projection orthogonale sur un plan et d´eterminer une ´equation cart´esienne de ce plan.
. Exercice 6 :
Soient n un entier sup´erieur `a 2, Y le vecteur (y1,· · ·, yn) de Rn etU le vecteur (1,· · · ,1) de Rn 1. Trouver b un r´eel en fonction de Y tel que la quantit´e ||Y −bU||2 soit minimale.
2. Soit X un vecteur (x1,· · · , xn) de Rn non colin´eaire `aU.
(a) Donner une base orthonormale de l’espace engendr´e par X etU.
(b) Montrer que deux r´eels a et b tels que ||Y −(aX+bU)||2 soit minimale sont : a= cx,y
σ2x etb =y− cx,y
σx2 ×x
avecx= 1 n
Pn
k=1xk,y = 1 n
n
X
k=1
yk,σx = v u u t 1 n
n
X
k=1
x2k− 1 n
n
X
k=1
xk
!2
etcx,y = 1 n
N
X
k=1
xk.yk− x×y La droite d’´equationy =ax+b s’appelle la droite de r´egression deY de X.
3. Trouver la droite de r´egression de Y en X et faire un sch´ema dans le cas particulier o`u : (x1, y1) = (1,2),(x2, y2) = (2,5),(x3, y3) = (3,4) et (x4, y4) = (4,7).
. Exercice 7 :
SoientM une matrice sym´etrique r´eelle,a etb deux valeurs propres r´eelles distinctes deM associ´ees respectivement aux vecteurs propres X et Y . En calculant le produit scalaire de M X et Y de deux fa¸cons distinctes, montrer que X et Y sont orthogonaux.
Exercices ` a faire pendant la classe
- Exercice 8 :
Soit n un entier naturel non nul.
1. Soit A un ´el´ement de Mn(R). On pose S =A×tA. Montrer que S est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont positives ou nulles.
2. Soit A un ´el´ement de Mn(R). On suppose que A est sym´etrique et que toutes ses valeurs propres sont positives. Montrer qu’il existe une matrice S d’ordren telle queA =S×tS.
3. On consid`ere la matrice suivante : A =
2 1 1 2
. D´eterminer une matrice S d’ordre 2 telle que A=S×tS.
- Exercice 9 :
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice canoniquement associ´ee est la matrice A suivante :
A=−1 9
−8 4 1
4 7 4
1 4 −8
.
1. Justifier qu’il existe une base orthonormale de vecteurs propres pour f.
2. Calculer tA×A et en d´eduire que ||f(−→v)||=||−→v || pour tout ´el´ement −→v deR3. 3. Que peut-on en d´eduire pour les valeurs propres def?
4. D´eterminer E−1(f).
5. En d´eduire le spectre def ainsi que la dimension des sous-espaces propres def. 6. Donner la nature g´eom´etrique def.
Exercices bonus
M Exercice 10 :
Dans cet exercice, pour toutideJ1,2K, on veut trouver une matricePiinversible telle quetPi×A×Pi soit diagonale avec :
A1 =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
et A2 =
1 0 1 0 2 0 1 0 1
.
_) Exercice 11 : Soit la matrice M =
0 −2 1
−2 3 −2
1 −2 0
. Le but de cet exercice est de calculerMn, pour tout entier
natureln, de deux mani`eres diff´erentes.
1. (a) Justifier que M est diagonalisable.
(b) Calculer les valeurs propres de M et les sous-espaces propres associ´es.
(c) D´eterminer une base orthogonale de R3 form´ee de vecteurs propres de M et en d´eduire une matriceP telle que tP ×M ×P soit diagonale.
(d) En d´eduire Mn en fonction de n, pour tout entier naturel n.
2. (a) On pose F = Vect ((1,−2,1)) et G= Vect ((1,0,−1),(1,1,1)). Soit p le projecteur sur F de direction G etq le projecteur sur Gde direction F.
i. Justifier quepetq sont des projecteurs orthogonaux et d´eterminer les endomorphismes p◦q, q◦p et p+q.
ii. On appelle respectivementA etB les matrices de petq dans la base canonique deR3. Calculer A et B.
(b) On posef l’endomorphisme deR3 dont la matrice dans la base canonique estM. Montrer que f = 5p−q et en d´eduire fn en fonction de n, p et q puis Mn en fonction de n pour tout entier naturel n.
