TD 9 — Espaces euclidiens
Exercice 1SoitEl’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de la formeaX2+bX+c. On définit pour P ∈E,Q∈E :
< P|Q >=
Z 1 0
P(x)Q(x) dx
a) Montrer que cela définit un produit scalaire surE.
b) Déterminer une base orhonormale (P0, P1, P2) deE (avecPk de degrék).
Exercice 2 SoitE un espace euclidien. αest un réel. On suppose quea, b et c sont trois vecteurs unitaires tels que
< a|b >=< a|c >=< b|c >=α a) Montrer que−12 ≤α≤1. (On pourra introduire le vecteuru=a+b+c).
b) Montrer que (a, b, c) est libre si et seulement si−12 < α <1
Exercice 3 Soit E = R3 muni du produit scalaire canonique. Soit F le plan vectoriel défini par l’équation x+y+z= 0.
a) Déterminer une base orthonormale deF.
b) DéterminerF⊥ et en donner une base orthonormale.
c) Déterminer le projeté surF du vecteura= (1,2,5).
d) Soitpla projection orthogonale surF. Déterminer la matrice de pdans la base canonique.
e) Soitsla symétrie orthogonale par rapport àF. Déterminer la matrice de sdans la base canonique.
Exercice 4Montrer que les matrices suivantes sont orthogonales. Décrire l’endomorphisme orthogonal deR2 ou deR3 associé.
A=
0 1
−1 0
B=
1
2 −
√ 3 2
−
√ 3 2 −12
! C=
3
5 4 5
−45 35
D= 1 3
1 −2 −2
−2 1 −2
−2 −2 1
E= 1 4
−2 −√
6 √
√ 6
6 1 3
−√
6 3 1
Exercice 5On considère les matrices AetB suivantes :
A=
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
B=
1 0 0
0 0 1
0 −1 0
a) Vérifier queAetB sont deux matrices orthogonales.
b) Montrer queAetB sont des matrices de rotation, dont on déterminera les angles et les axes.
c) Soit la matriceC=AB. CalculerC. Montrer qu’il s’agit d’une matrice de rotation dont on précisera l’angle et l’axe.
Exercice 6
Pour chacune des matrices symétriques réelles suivantes, précisez une matrice diagonaleD et une matrice ortho- gonaleP telles queA=P DP−1:
2 2 2 −1
3 −2 −2
−2 8 −2
−2 −2 3
3 −1 −1
−1 2 0
−1 0 2
