Ab2 : Espaces euclidiens
Un peu plus de mathématiques
D’autres systèmes mécaniques que la toupie présentent un comportement semblable.
Ceci a été remarqué dans la deuxième moitié du dix-neuvième siècle par So!a Kovalevskaya, dont on voit ici un portrait [12 (#nb12)]. Aujourd’hui, ces systèmes s’appellent des systèmes intégrables. Pour les caractériser sans employer trop de mots techniques, disons qu’ils ont un comportement très régulier, presque périodique [13
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6 sur 10 03/01/16 08:44
La matrice d’inertie d’une toupie est diagonalisable. . .
Eest un espace vectoriel euclidien, c’est-à-dire préhilbertien réel de dimension finie. Le produit scalaire sera noté (.|.) ou〈., .〉. La norme euclidienne associée sera notéek.k.
I Matrice d’un endomorphisme dans une base ortho- normale : expression à l’aide du produit scalaire
Proposition Soitu∈L(E),B=(e1, . . . ,en) une base orthonormale deE. Les coefficients de la matrice A=MB(u) sont donnés par
∀(i,j)∈ 1,n2 Ai,j=¡
ei |u(ej)¢
Comme on le constate, ce résultat, simple, est suffisamment important pour qu’on en fasse un paragraphe.
Rappelons, c’est important, que six∈E, on peut décomposer x=
n
X
i=0
xiei
et comme la baseB est orthonormale, pour toutkon a (ek|x)=xk
donc
x=
n
X
i=0
(ei|x)ei
Or par définition,Ai,j est la composante surei deu(ej), d’où la formule voulue.
II Isométries vectorielles
II.1 Définition-proposition
Soituun endomorphisme deE. Les propriétés
(1) ∀(x,y)∈E2 〈u(x),u(y)〉 = 〈x,y〉(uconserve le produit scalaire) (2) ∀x∈E ku(x)k = kxk(uconserve la norme)
sont équivalentes ; un endomorphisme qui vérifie (1) ou (2) est un automor- phisme ; on l’appelle isométrie vectorielle, ou automorphisme orthogonal (ter- minologie hors-programme).
Pour (1)⇒(2), on prendy=x. Pour la réciproque, utilisons par exemple l’iden- tité de polarisation
〈u(x),u(y)〉 =1 2
¡ku(x)+u(y)k2− ku(x)k2− ku(y)k2¢
dans laquelle, commeuest supposé être un endomorphisme, on peut rempla- ceru(x)+u(y) paru(x+y).
II.2 Notation
On noteraO(E) l’ensemble des isométries vectorielles (ou « automorphismes orthogonaux », terminologie alternative) deE.
II.3 Caractérisation à l’aide des bases orthonormales
Proposition Une isométrie vectorielle transforme toute base orthonormale en une base orthonormale. Réciproquement, pour qu’un endomorphisme soit un automorphisme orthogonal, il suffit qu’il transforme une base or- thonormale en une base orthonormale.
On peut résumer par « un endomorphisme est une isométrie vectorielle si et seulement si il transforme base orthonormale en base orthonormale ».
Supposons (e1, . . . ,en) une base orthonormale. Siu∈O(E), pour tousi et jon a
¡u(ei)|u(ej)¢
=(ei|ej)
ce qui donne bien que (u(e1), . . . ,u(en)) est orthonormale. Réciproquement, supposons que (u(e1), . . . ,u(en)) soit orthonormale. Pour tousxety, on a alors
¡u(x)|u(y)¢
= Ã n
X
i=1
(ei|x)u(ei)|
n
X
j=1
(ej|y)u(ej)
!
=
n
X
i=1
à n
X
j=1
(ei|x)(ej|y)(u(ei)|u(ej))
!
=
n
X
i=1
à n
X
j=1
(ei|x)(ei|y)
!
=(x|y)
II.4 Déterminant
Proposition Une isométrie vectorielle a pour déterminant 1 ou−1.
Démonstration Avec les matrices, voir un peu plus loin.
Mais un automorphisme qui a pour déterminant1ou−1n’est pas nécessaire- ment un automorphisme orthogonal, c’est une erreur commune à éviter.
II.5 Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal
Proposition O(E) est un sous-groupe de¡
GL(E),◦¢ ,
Définition appelé groupe orthogonal de l’espace euclidienE. Définition On définit
SO(E)={u∈O(E) / det(u)=1}
C’est un sous-groupe de¡
O(E),◦¢
, appelé groupe spécial orthogonal de E. Les éléments deSO(E) sont appelés rotations (ou isométries vecto- rielles positives, ou encore isométries vectorielles directes, cette dernière terminologie étant h.p.). Les éléments deO(E)\SO(E) sont les isométries vectorielles négatives voire « indirectes ».
Démonstrations : révision sur les sous-groupes !
Si u ∈O(E), on a, pour tout x, ku(x)k = kxk, doncu(x)=0E ⇒x =0E, donc u est injectif, ce qui en dimension finie équivaut à dire queu ∈GL(E). Donc O(E)⊂GL(E).
O(E)6= ;car IdE ∈O(E).
Siv,usont dansO(E), alors pour tousxetyon a
¡(v◦u)(x), (v◦u)(y)¢
=(u(x)|u(y))=(x|y) doncv◦u∈O(E) ; de plus,
(u−1(x)|u−1(y))=¡ u¡
u−1(x)¢
|u¡
u−1(y)¢¢
=(x|y)
doncu−1∈O(E). On a ainsi montré queO(E) est un sous-groupe deGL(E).
det est un morphisme deO(E) dans {−1, 1} dontSO(E) est le noyau,SO(E) est donc un sous-groupe deO(E).
III Matrices orthogonales
III.1 Définition
Définition :Une matriceA∈Mn(R) est dite orthogonale lorsqu’elle vérifie l’une des trois conditions équivalentes suivantes :
(i) AtA = In (ii)tA A = In
(iii)A∈GLn(R) etA−1=AT
(On évite d’utiliser les deux symboles différents pour la transposition dans une même rédaction. . .).
On sait que pour une matrice carrée, être inversible à gauche, à droite ou inver- sible tout court, c’est la même chose.
III.2 Notation
On noteO(n) ouOn(R) l’ensemble des matrices carrées réellesn×northogo- nales.
III.3 Matrices orthogonales et isométries vectorielles
Proposition :Soituun endomorphisme deE,B une baseorthonormaledeE. Alors
u∈O(E) ⇐⇒MB(u)∈O(n)
Ceci justifie l’appellation « automorphisme orthogonal » pour « isométrie vec- torielle ».
SiB =(e1, . . . ,en), soitx=
n
X
i=1
xiei ety=
n
X
j=1
yjej. Comme la base est orthonor- male, on a
(x|y)=
n
X
i=1
xiyi=
³
x1 . . . xn
´
y1
... yn
=XT Y =YT X
Donc, en notantA=MB(u),
(u(x)|u(y))=(AX)T(AY)=XTATAY
Si A∈O(n), on aATA=In, donc (u(x)|u(y))=(x|y) pour tousxety.
Si réciproquement on au∈O(E), alors pour tousX etY on a XT£
(ATA−In)Y¤
=0
Or cela signifie, pour le produit scalaire euclidien canonique surMn,1(R), que ATAY est, pour toutY, orthogonal à tous les éléments deMn,1(R), donc nul.
DoncATA−In=(0), ce qui donne bienA∈O(n).
III.4 Une caractérisation
Proposition Une matrice est orthogonale si et seulement si la famille de ses vecteurs colonnes (ou : la famille de ses vecteurs lignes) est orthonormale dans Rn(identifiable àMn,1(R)) muni de son produit scalaire canonique.
Notons c1, . . . ,cn les vecteurs colonnes de la matrice A. En identifiant comme souventRetMn,1(R), on a pour tousi,j :
tci cj=(tA A)i,j Le résultat en résulte directement.
Résultat bien pratique pour déterminer « à vue » si une matrice de petite taille est orthogonale. Par exemple, pour démontrer que les deux matrices suivantes sont orthogonales, on ne posera pas le calcul fastidieux du produit de la matrice par sa transposée:
1 4
2+p
3 −p
2 2−p 3 p2 2p
3 −p 2 2−p
3 p
2 2+p 3
; 1 4
3 1 p
6
1 3 −p
6
−p
6 p
6 2
Dans chacun de ces cas on peut calculer de tête les normes euclidiennes des colonnes, ainsi que leurs produits scalaires.
III.5 Passage entre deux bases orthonormales
PropositionSoitB une base orthonormale. La baseB0est orthonormale si et seulement siPBB0∈O(n).
On noteP=PBB0etB=(e1, . . . ,en),B0=(e10, . . . ,e0n). Pour toutj, on a e0j=
n
X
k=1
pk,jek
Alors, pour tousi,j, par orthonormalité deB, (e0i|e0j)=
n
X
k=1
pk,ipk,j =(PT P)i,j
ce qui conclut facilement.
III.6 Topologie
Il faut savoir montrer queO(n)=On(R) est compact. Le résultat n’est pas au programme, mais est souvent demandé dans les problèmes d’écrit.
Vu en TD, et très important. A savoir faire.
III.7 Déterminant, groupe spécial orthogonal
a Déterminant d’une matrice orthogonale
Proposition :Une matrice orthogonale a pour déterminant 1 ou−1.
Une erreur classique est de considérer que la réciproque est vraie Si A∈O(n), on aATA=Indonc det(AT) det(A)=1, donc (det(A))2=1.
b Groupes
Proposition O(n) est un sous-groupe de¡
GLn(R),×¢
, appelé groupe ortho- gonal d’ordren.
SOn(R)=SO(n)={A∈O(n) / det(A)=1} est un sous-groupe de¡
O(n),×¢ , appelé groupe spécial orthogonal d’ordren.
Les éléments deSO(n) sont les matrices orthogonales positives, les élé- ments deO(n) \SO(n) sont les matrices orthogonales négatives.
Remarque : les matrices3×3écrites plus haut sont-elles positives ou négatives ? calculer leur déterminant n’est pas très amusant. On peut faire beaucoup plus simple en utilisant le produit vectoriel ; en effet, si on sait qu’une matrice3×3 est orthogonale, si on notec1,c2,c3ses trois vecteurs colonnes (dans l’ordre), on ac1∧c2=c3ouc1∧c2= −c3(suivant si la base(c1,c2,c3)est ou non directe dans
R3orienté canoniquement). Dans le premier cas la matrice est orthogonale di- recte, dans le deuxième cas non. Il suffit donc de tester sur une composante non nulle dec3. Mais le produit vectoriel n’est pas au programme de mathéma- tiques. . .mais il est au programme de physique. . .. . .on peut donc se permettre de l’utiliser.
IV Symétries orthogonales, réflexions
On étudie ici des isométries vectorielles particulièrement simples.
IV.1 Hyperplans et réflexions
a Hyperplans d’un espace euclidien
SoitHun hyperplan de l’espace euclidienE. Par définition,H⊥est une droite.
Soitaun vecteur non nul deH⊥. On dit queaest un vecteur normal àH (dé- nomination hors programme). On a alors
(x∈H) ⇐⇒ (a|x)=0
Et on dit que (a|x)=0 est une équation de H. Comme tous les vecteurs nor- maux à H sont lesλa, λ6=0, les équations deH sont toute proportionnelles entre elles. Et s’écrivent, dans une base orthonormale :
a1x1+a2x2+. . .+anxn=0
où (a1, . . . ,an)6=(0, . . . , 0). On les connaît bien en dimension 2 et 3. Récipro- quement, toute équation de cette forme est l’équation d’un hyperplan vectoriel (pour les hyperplans affines, on rajoute une constante).
b Projection orthogonale sur un hyperplan
Sixest un vecteur deE, siHest un hyperplan deE, siaest un vecteur normal àH, le projeté orthogonal dexsurH⊥est : 1
kak2(a|x)a(car une base orthonor-
male deH⊥est µ 1
kaka
¶ )
et donc le projeté orthogonal dexsurH est :x− 1
kak2(a|x)a c Exercice : expression analytique d’une réflexion
Rappelons qu’on appelle réflexion(dans un espace euclidien) toute symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
SoitHun hyperplan de l’espace euclidienE. Soitaun vecteur unitaire deH⊥. Alors, sixest un vecteur deE, l’image dexpar la réflexion d’hyperplanH est (formule h.p.) :2(a|x)a−x
d Exercice : réflexion échangeant deux vecteurs
Exercice : Soit (a,b) un couple de vecteurs non nuls d’un espace euclidienE, tels quea6=betkak = kbk. Montrer qu’il existe alors une unique réflexion qui échangeaetb.
Sis est une telle réflexion,s(a)=bets(b)=a, doncs(a−b)=b−a= −(b−a).
Et donc sisest la réflexion par rapport à l’hyperplanH, on aa−b∈H⊥.
Réciproquement, soit H =(Vect(b−a))⊥. Et soit sH la réflexion par rapport à l’hyperplanH. On asH(b−a)= −(b−a)=a−b. De plus,
(a+b|a−b)= kak2− kbk2=0
donca+b∈Het doncsH(a+b)=a+b. En ajoutant à cette relation la relation sH(b−a)=a−b, on asH(b)=a, doncsH(a)=b.
IV.2 Symétries orthogonales
Proposition :SoitFun sous-espace d’un espace vectoriel euclidienE. La symé- trie orthogonale par rapport à F est une isométrie vectorielle diagonalisable.
Elle est positive si et seulement sidim(E)−dim(F) est pair. Il suffit pour le voir d’écrire la matrice de cette symétrie orthogonale dans une base orthonormale (e1, . . . ,ep,ep+1, . . . ,en) où (e1, . . . ,ep) est une base orthonormale deF. La ma- trice cherchée est diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1) et son déterminant vaut (−1)n−p.
En particulier, une réflexion est une isométrie négative.carp=n−1
On verra que les automorphismes orthogonaux diagonalisables sont les symé- tries orthogonales. Mais il y a beaucoup d’automorphismes orthogonaux non diagonalisables.
V Etude en dimension 2
V.1 Un paramétrage
Deux réelsxetyvérifient
x2+y2=1 si et seulement si il existeθ∈Rtel que
x=cosθ , y=sinθ
On passe ainsi de l’équation d’un cercle à un paramétrage de ce cercle.
Remarquons (digression. . .) que l’on ne fait pas autre chose quand on passe de l’écriture
t7→acos(ωt) +bsin(ωt) à l’écriture
t7→Acos(ωt+φ) des solutions d’un équation différentielle
y00+ω2y=0 .
V.2 Matrices 2 × 2 orthogonales
On voit assez facilement, en utilisant le paramétrage précédent, qu’il y a deux types de matrices orthogonales carrées d’ordre 2 : les matrices du type
R(θ)=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
et les matrices du type
S(θ)=
cosθ sinθ sinθ −cosθ
Donc (après calcul de leurs déterminants)
SO(2)=SO2(R)=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
; θ∈R
O(2) \SO(2)=
cosθ sinθ sinθ −cosθ
; θ∈R
Proposition (SO(2),×) est un groupe commutatif, isomorphe à (U,×).
En dimensionn≥3,(SO(n),×)n’est plus commutatif.
Proposition Les éléments deO(2) \SO(2) sont des réflexions.
Ceci non plus n’est pas vrai en dimension≥3: la dimension 2 est particulière- ment simple.
VI Endomorphismes symétriques
VI.1 Définition
a Définition
Soit (E, (.|.)) un espace euclidien. On dit queu∈L(E) est symétrique lorsque
∀(x,y)∈E2 (u(x)|y)=(x|u(y))
L’ensemble des endomorphismes symétriques est un sous-espace vectoriel de L(E), notéS(E).
b Exemple à connaître
Proposition Soitpun projecteur (p◦p=p). Alorsp est un projecteur or- thogonal (i.e. Kerp⊥Imp) si et seulement sipest symétrique.
Sipest symétrique, alors
∀(x,y)∈E2 (p(x)|y)=(x|p(y))
Prenonsx∈Ker(p) ety∈Im(p). On trouve (x|y)=0, carp(y)=y.
Si, réciproquement,pest un projecteur orthogonal, soit (x,y)∈E2. On a (p(x)|y)=(p(x)|p(y))+(p(x)
| {z }
∈Imp
|y−p(y)
| {z }
∈Kerp
)=(p(x)|p(y))
c Exercice
Montrer que si u est un endomorphisme symétrique d’un espace euclidien alors Ker(u)⊕Im(u)=E.
Six∈Ker(u) ety∈E, on a
(x|u(y))=(u(x)|y)=0
donc Keru⊥Imu. Donc la somme Ker(u)⊕Im(u) est directe, par théorème du rang elle est égale àE.
d Caractérisation matricielle en base orthonormale
Proposition SoitB une baseorthonormalede l’espace euclidienE, et soit u∈L(E).
u∈S(E) ⇐⇒ MB(u)∈Sn(R)
Encore une bonne raison d’appeler « symétriques » les endomorphismes symé- triques.Il suffit de se souvenir du premier résultat du chapitre.
VI.2 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques : théorème spectral
SoitEun espace euclidien.
Théorème Siu∈S(E), alors
E= °
λ∈Sp(u)Eλ(u) C’est une somme directe orthogonale ! oùEλ(u)=Ker(u−λI dE)=Ker(λI dE−u)
Théorème Tout endomorphisme symétrique est « diagonalisable en base orthonormale » : siu∈S(E), alors il existe une base orthonormale deE composée de vecteurs propres deu.
Théorème SoitA∈Sn(R). Il existeP∈O(n) etD∈Dn(R) telles que A=P D tP=P DPTP DP−1
(P est la matrice de passage de la base canonique deRn à une base or- thonormale de Rn formée de vecteurs propres pour l’endomorphisme canoniquement associé à A).
Démonstration Elle est plutôt facile pourn=2. . .mais c’est tout ! après, il faut surtout montrer le lemme crucial :
Lemme 1 Soitu∈S(E) ; alors Sp(u)6= ;
Voir en annexe la première démonstration, posée à peu près à l’écrit de Centrale récemment.
Une fois le lemme 1 montré, la suite est nettement plus simple.
Lemme 2 Siu∈S(E), des sous-espaces propres deuassociés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.
Lemme 3 Siu∈S(E), siF est un sous-espace vectoriel deE, F stable paru ⇐⇒ F⊥stable paru
. . .puis on termine la démonstration par récurrence sur la dimension de l’es- pace.
Exemple On considère la matrice J ∈ Mn(R) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
1. Montrer queJ est diagonalisable.
2. Déterminer rg(J).
3. En déduire une matriceP inversible et une matriceD diagonale telles queJ=P DP−1.
VII Réduction des isométries vectorielles, des ma- trices orthogonales
VII.1 Les lemmes
On part des trois lemmes suivants :
Lemme 1 Siu∈O(E),F est stable parusi et seulement siF⊥est stable par u.
Lemme 2 Siu∈O(E), il y a au moins un plan ou une droite vectorielle stable paru.
Lemme 3 Les seules valeurs propres possibles pour une isométrie vecto- rielle sont et
VII.2 Le théorème
Théorème de réduction SoitE un espace euclidien,u∈O(E). Il existe une base orthonormaleBdeE, des entiers naturelsm,p,q, des réelsθ1,. . .,θm
tels que
MB(u)=
Rθ1
. ..
Rθm
−Ip
Iq
où, pour tout réelθ,
Rθ=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
Avec ces notations,uest une rotation si et seulement sip Remarque : en remarquant que
Rπ=
on voit qu’on peut supposerp∈{0, 1}.
Version matricielle Soit M une matrice orthogonale (M ∈O(n)). Alors il existe une matriceP∈O(n) et une matriceQde la forme ci-dessus telles queM=PQP−1=PQPT.
Remarque On retrouve ainsi le fait que les isométries vectorielles qui sont diagonalisables sont les symétries orthogonales (symétrie par rapport à un sous-espaceF parallèlement àF⊥).
VIII Orientation d’un espace euclidien. Produit mixte
VIII.1 Orientation d’un espace vectoriel réel
SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie. SiB etB0sont deux bases de E, on sait que detB(B0) est un réel non nul.
Définition On dit queB a même orientation queB0lorsque detB(B0)>0 Les égalités detBB0=(det0BB)−1 et detB(B00)=detBB0 det0B(B00) (ainsi que detB(B)=1) montrent que la relation « a même orientation que » est une rela- tion d’équivalence sur l’ensemble des bases deE.
Il y a deux classes d’équivalence. En effet, soitBune base etB0une base d’orien- tation inverse (on en obtient par exemple une à partir de B =(e1, . . . ,en) en considérant (−e1, . . . ,en) ou (e2,e1,e3, . . . ,en). Toute base a alors soit même orien- tation queB, soit même orientation queB0.
Définition Orienter l’espaceE, c’est faire le choix d’une des deux classes d’équivalence pour la relation « a même orientation que » On fait en gé- néral ce choix à travers le choix d’une base particulière, c’est-à-dire d’un représentant de la classe que l’on choisit ; les bases de cette classe sont dites directes, les autres indirectes ou inverses.
En pratique, on dira donc souvent : « soitEorienté de telle manière que la base B soit directe », ou « soitE orienté, soitB une base directe ». Les bases directes sont alors celles qui ont même orientation queB.
Lorsque l’espace estRn, on oriente en général canoniquement, c’est-à-dire de manière à ce que la base canonique soit directe.
Par exemple, si E est orienté et si (e1,e2,e3) est directe, alors (−e1,e3,e2) est , (e3,e2,e1) est , (−e1,−e2,−e3) est .
Remarque :Cette notion d’orientation ne se généralise pas au cas d’unC-espace vectoriel.
VIII.2 Espace vectoriel euclidien orienté ; produit mixte
a Définition
SoitE un espace vectoriel euclidien orienté, et soitB une base orthonormale directe deE.
Pour toute base orthonormaleB0, detBB0=1 ou detBB0= −1 (carPBB0∈O(n)).
La baseB0est directe si et seulement si detBB0=1.
Définition
SoitEun espace vectoriel euclidien orienté, de dimensionn.
Si (x1, . . . ,xn) est une famille de n vecteurs de E, le déterminant de la famille (x1, . . . ,xn) est le même dans toutes les bases orthonormales di- rectes deE. Ce déterminant est noté
[x1, . . . ,xn]
et est appeléproduit mixtedesnvecteursx1, . . . ,xn(pris dans cet ordre).
En bref SiBest une base orthonormale directe, [x1, . . . ,xn]=detB(x1, . . . ,xn)
Remarque Si on change l’orientation, le produit mixte est changé en son opposé.
b Interprétation géométrique du produit mixte Dans le plan,¯
¯[a,b]¯
¯est l’aire géométrique du parallélogramme construit sur les vecteursaetb. [a,b] est une aire orientée, parfois dite algébrique.
D’une manière générale, dans un espace vectoriel euclidien de dimension n, [x1, . . . ,xn] est le volume orienté du « polytope » (parallélogramme en dimen- sion 2, parallélépipède en dimension 3)
( n
X
i=1
tixi ; (ti)1≤i≤n∈[0, 1]n )
c Effet d’une application linéaire sur un produit mixte Siu∈L(E), (x1, . . . ,xn)∈En, alors
[u(x1),u(x2), . . . ,u(xn)]= ×[x1,x2, . . . ,xn]
IX Isométries vectorielles en dimension 2
IX.1 Classification
Il y a exactement deux sortes d’isométries vectorielles (ou automorphismes or- thogonaux) du plan euclidien :
— Les isométries négatives qui sont toutes desréflexions
— Lesrotations(isométries positives).
Le groupe (SO(E),◦) des rotations est commutatif.
Notons que le cas de la dimension 2 est très particulier : en dimension>2, le groupeSO(E) des rotations n’est pas commutatif, et les isométries négatives ne sont pas toutes des réflexions.
IX.2 Angle d’une rotation
Supposons ici le plan vectorielEorienté.
Soitrun élément deSO(E).
On commence par remarquer que la matrice der est la même dans toutes les bases orthonormales directes. En effet, siB etB0sont deux telles bases, on sait
que
MB(r)=Rθ pour un certainθréel. Donc
MB0(r)=P−1RθP
oùP=PBB0. Mais commeB etB0ont même orientation, il existeφtel que PBB0=Rφ. Et comme (SO(2),×) est commutatif. . .
Il existe alors un unique réelθmodulo 2πtel que cette matrice soit égale à R(θ)=
cosθ −sinθ sinθ cosθ
On dit queθest une mesure de l’angle de la rotationr.
L’applicationθ7→R(θ) est un morphisme de (R,+) sur (SO(2),×) (surjectif mais non injectif : le noyau est 2πZ).
Pour tout vecteur unitairea, la relation
r(a)=(cosθ)a + (sinθ)b où (a,b) est orthonormale directe donne
cosθ=¡
a|r(a)¢
sinθ=£
a,r(a)¤
Etant donné deux vecteurs non nuls a etb, il existe une unique rotation qui transforme le vecteur unitaire associé à aen le vecteur unitaire associé àb. Si θ est une mesure de l’angle de cette rotation, on dit queθest unemesure de l’angle orienté des deux vecteursa etb (les autres mesures s’obtiennent par addition d’un multiple entier de 2π). Alors
(a|b)= ||a|| ||b||cosθ [a,b]= ||a|| ||b||sinθ
Attention à une confusion possible : le fait d’être une isométrie négative ou po- sitive ne dépend pas de l’orientation de l’espace. Donc ici, si on change l’orien- tation du plan, une rotationrreste une rotation, son angle est seulement changé en son opposé.
X Rotations en dimension 3
X.1 Stabilité
Rappel Siu∈O(E), siF est un sous-espace vectoriel deEstable paru, alors F⊥est stable paru.
Rappel inutile ici : c’est vrai aussi pouru∈S(E).
X.2 Orientation d’un hyperplan
SiHest un hyperplan d’un espace vectoriel euclidien orientéE, on peut orien- terH par le choix d’un vecteur normala : on dira qu’une base orthonormale (e1, . . . ,en−1) est une base directe deH lorsque
µ
e1, . . . ,en−1, 1 kaka
¶
est une base directe deE.
Faire un dessin. . .
X.3 Réduction d’une rotation en dimension 3
On pourrait utiliserVII., on va essayer autrement.
Soitr une rotation, i.e. une isométrie vectorielle positive (ou directe) d’un es- pace euclidien de dimension 3.
Q1.Montrer quera au moins une valeur propre.
Q2.Montrer qu’une telle valeur propre est égale à±1.
Soitwun vecteur propre unitaire associé à une telle valeur propre².
D’après le rappel,F =Vect(w)⊥est stable parr, l’endomorphisme induitrF est une isométrie vectorielle. Dans une base orthonormale (u,v,w), la matrice de r sera donc la forme
cosα −sinα 0 sinα cosα 0
0 0 ²
ou
cosα sinα 0 sinα −cosα 0
0 0 ²
Q3.Montrer alors que 1∈Sp(r).
On choisit alors un vecteur unitairea tel quer(a)=a; et on suppose doréna- vant que l’espace est orienté.
Soit P l’orthogonal de Vect(a). C’est un plan vectoriel, que l’on oriente de la manière suivante : la base (e1,e2) dePest dite directe lorsque la base (e1,e2,a) est directe.
Q4.Justifier que l’endomorphismerP induit parrsurPest une rotation.
rP est donc une une rotation, d’angle de mesureθ (définie modulo 2π) pour cette orientation. La matrice derdans toute base orthonormale directe (e1,e2,a)
est du type suivant :
cosθ −sinθ 0 sinθ cosθ 0
0 0 1
On voit donc que, sir 6=I d, le sous-espace propre associé à la valeur propre 1 est réduit à Vect(a). On l’appelle l’axe der.
Définition :On dit quer est larotation d’axe orienté para, d’angle de mesure θ(modulo2π).
Remarque : r est aussi la rotation d’axe orienté para, d’angle de mesureθ (modulo2π).
Remarque :Si on change l’orientation. . .
RecettesSi on doit étudier une rotation en dimension 3,
•On commence par déterminer son axe en cherchant les vecteurs invariants.
•Pour déterminerθ, on peut remarquer (il faut donc connaître la forme réduite ci-dessus) que
Tr(r)=2 cosθ+1 ce qui permet de déterminer cosθ.
•Il ne reste plus qu’à déterminer le signe de sinθ. Pour cela, soituun vecteur n’appartenant pas à l’axe de la rotation (on le prend en pratique dans la base canonique, le premier vecteur si c’est possible, le deuxième sinon, pour avoir beaucoup de zéros). Alors
Q5.Dire en quoi le calcul de [u,r(u),a] permet de déterminerθ.
XI Annexe : démonstration du lemme 1 (théorème spectral)
Rappelons l’énoncé :
Lemme SoitE euclidien,u∈S(E). Alors Sp(u)6= ; Démonstration 1
1. Montrer que l’application
φ : x7→¡
x|u(x)¢
est bornée sur la sphère unitéS(0E, 1) et atteint son maximum. On note dorénavantx0un élément deS(0E, 1) tel que
∀x∈S(0E, 1) φ(x)≤φ(x0)
2. Soity∈S(0E, 1) tel quex0⊥y=0. Montrer que la fonction ψ : t7→φ¡
(cost)x0+(sint)y¢ (définie surR) atteint un maximum ent=0.
3. En déduire que¡
y|u(x0)¢
=0.
4. Conclure quex0est vecteur propre deu.
Démonstration 2 Plus sophistiquée(mais suivant le même principe) : on remarque, comme précédemment, que l’application
x7−→ 1
kxk2(x|u(x))
atteint un maximum surE\ {0E} (ce dernier n’est pas compact, mais en fait il suffit de « rentrer » la norme dans le produit scalaire pour se rame- ner àS(0E, 1)). Il est alors intéressant de calculer la différentielle de cette application ; et de vérifier que si elle est nulle enx0, alorsx0est vecteur propre. Ceci n’est faisable qu’en sachant des choses sur la différentielle (chapitre Cn, n grand).
Table des matières
I Matrice d’un endomorphisme dans une base orthonormale : expres-
sion à l’aide du produit scalaire 2
II Isométries vectorielles 2
II.1 Définition-proposition . . . 2
II.2 Notation . . . 3
II.3 Caractérisation à l’aide des bases orthonormales . . . 3
II.4 Déterminant . . . 4
II.5 Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal . . . 4
III Matrices orthogonales 5 III.1 Définition . . . 5
III.2 Notation . . . 6
III.3 Matrices orthogonales et isométries vectorielles . . . 6
III.4 Une caractérisation . . . 7
III.5 Passage entre deux bases orthonormales . . . 7
III.6 Topologie . . . 8
III.7 Déterminant, groupe spécial orthogonal . . . 8
a Déterminant d’une matrice orthogonale . . . 8
b Groupes . . . 8
IV Symétries orthogonales, réflexions 9 IV.1 Hyperplans et réflexions . . . 9
a Hyperplans d’un espace euclidien . . . 9
b Projection orthogonale sur un hyperplan . . . 9
c Exercice : expression analytique d’une réflexion . . . 10
d Exercice : réflexion échangeant deux vecteurs . . . 10
IV.2 Symétries orthogonales . . . 11
V Etude en dimension 2 12
V.1 Un paramétrage . . . 12
V.2 Matrices 2×2 orthogonales . . . 12
VI Endomorphismes symétriques 14 VI.1 Définition . . . 14
a Définition . . . 14
b Exemple à connaître . . . 14
c Exercice . . . 14
d Caractérisation matricielle en base orthonormale . . . 15
VI.2 Réduction des endomorphismes et des matrices symétriques : théo- rème spectral . . . 15
VIIRéduction des isométries vectorielles, des matrices orthogonales 17 VII.1Les lemmes . . . 17
VII.2Le théorème . . . 18
VIIIOrientation d’un espace euclidien. Produit mixte 19 VIII.1Orientation d’un espace vectoriel réel . . . 19
VIII.2Espace vectoriel euclidien orienté ; produit mixte . . . 20
a Définition . . . 20
b Interprétation géométrique du produit mixte . . . 20
c Effet d’une application linéaire sur un produit mixte . . . . 21
IX Isométries vectorielles en dimension 2 21 IX.1 Classification . . . 21
IX.2 Angle d’une rotation . . . 21
X Rotations en dimension 3 23 X.1 Stabilité . . . 23
X.2 Orientation d’un hyperplan . . . 23
X.3 Réduction d’une rotation en dimension 3 . . . 24 XI Annexe : démonstration du lemme 1 (théorème spectral) 26
