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Espaces euclidiens

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Universit´e de Marne-la-Vall´ee S4MIAS 2`eme semestre 2000/2001

TD 3 : Espaces euclidiens

Exercice 1

Soit B l’application de R3×R3 dansR telle que

B((x, y, z),(x0, y0, z0)) = xx0+(a+5)yy0+(a2+a+2)zz0+xz0+zx0+2(xy0+yx0)+(a+3)(yz0+zy0) Pour quelles valeurs dea,B est-elle un produit scalaire?

Exercice 2

On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien.

1. D´eterminer une base orthogonale du sous-espace vectorielE engendr´e paru1= (1,0,0,−1) etu2 = (−1,−1,1,1). En d´eduire une base orthonormale deE.

2. D´eterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E, E. En d´eduire une base orthonor- male de E.

(a) Donner une base orthonormale deR4 autre que la base canonique.

(b) Quelles sont les coordonn´ees deu= (1,2,−1,−2) dans cette base.

(c) D´ecomposer u en la somme d’un ´element de E et d’un ´element de E. V´erifier le th´eor`eme de Pythagore.

Exercice 3

Dans R4, on consid`ere les vecteurs

v1= (1,2,−1,−2), v2 = (2,3,0,−1), v3 = (5,−2,−5,−2) et v4 = (8,10,−10,4).

Montrer qu’ils forment une base deR4. En utilisant l’algorithme de Gram-Schmidt, donner une base orthonorm´ee de R4.

Exercice 4

Soit E un espace Euclidien de dimension n,F un sous-espace vectoriel de dimensionp≤n.

1. Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique ´element y ∈F tel que x−y∈ F. On pose alorsPF(x) =y (c’est la projection orthogonale).

2. Montrer que pour toutx∈E,z∈F,||x−z|| ≥ ||x−PF(x)||.

3. Dans R3, on consid`ere le vecteurb = (b1, b2, b3) et le plan Q donn´e par l’´equation b1x1+ b2x2+b3x3 = 0. D´ecrire Q. En d´eduire la distance entre un point aetQ.

4. Soit {e1, e2, . . . , ep}une base orthogonale de F. Montrer que

∀x∈E, PF(x) =

p

X

i=1

< x, ei >

< ei, ei >ei.

1

(2)

Exercice 5

Soit E le sous-espace vectoriel deR3 engendr´e par les vecteurs v1 = (1,−1,2) etv2= (1,0,1).

D´eterminer

1. une ´equation deE,

2. une base orthonormale deE, 3. une base orthonormale deE,

4. la projection orthogonale de (1,1,1) surE.

Exercice 6

Dans R2, trouver 3 vecteurs tels que leurs angles pris 2 `a 2 soient tous ´egaux `a 2π/3. Montrer que, dans Rn, il n’est pas possible de trouver 3 vecteurs tels que leurs angles pris 2 `a 2 soient tous strictement sup´erieur `a 2π/3 (consid´erer la norme de la somme de ces 3 vecteurs norm´es).

Exercice 7

SoitEl’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels, de degr´e inf´erieur `a 2, muni du produit scalaire

< P, Q >= Z 1

0

P(x)Q(x)dx.

Soit F le sous-espace form´e des polynˆomes de degr´e inf´erieur `a 1 et R(x) =x2. 1. V´erifier que < P, Q >est bien un produit scalaire.

2. D´eterminer aetb de telle sorte que le polynˆome x2−ax−bsoit orthogonal `a chacun des polynˆomes 1 et x.

3. Trouver le polynˆomeS ∈F le plus proche de R.

Exercice 8

SoitEl’espace vectoriel des polynˆomes `a coefficients r´eels, de degr´e inf´erieur `an, muni du produit scalaire

< P, Q >= Z 1

1

P(x)Q(x)dx.

1. D´emontrer que Z 1

−1

P(k)(x)Q(x)dx =

"k1 X

m=0

(−1)mP(k−m−1)(x)Q(m)(x)

#1

−1

+ (−1)k Z 1

−1

P(x)Q(k)(x)dx .

2. Montrer que les polynˆomes

Lk(x) = k!

(2k)!

dk dxk

(x2−1)k

forment, pour k = 0, . . . , n, une base orthogonale de E, et que c’est la base qu’on trouve en appliquant l’algorithme de Gram-Schmidt `a la base canonique.

2

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