D.350 Polygones sphériques Solution proposée par Pierre Renfer

(1)

D.350 Polygones sphériques

Solution proposée par Pierre Renfer 1) Détermination des polygones

Soit O le centre de la sphère, dont on prendra le rayon comme unité.

Soit

r

_k le retournement dans l'espace autour de l'axe

( OM

_k

)

.

Si

1  k  n  1

, le retournement

r

_k transforme le point

S

_k en le point

S

_k_₁. Le retournement

r

_n transforme le point

S

_n en le point

S

₁.

Donc le point

S

₁ est transformé en lui-même par la composée

f  r

_n

 r

_n_₁

   r

₂

 r

₁, qui est une rotation.

L'axe D de la rotation f coupe la sphère en deux points diamétralement opposés

S

₁ et

S '

₁, qui sont des sommets possibles pour commencer la construction d'un polygone solution.

Il peut arriver exceptionnellement que la rotation f soit l'identité. Dans ce cas depuis tout point

S

₁ de la sphère, on peut construire un polygone solution.

2) Rappel sur le lien entre rotations et quaternions

On assimile l'espace vectoriel R³ à celui des quaternions purs, en associant au triplet (a,b,c) le quaternion pur

a  i  b  j  c  k

.

Soit t un quaternion quelconque non nul.

Alors l'application

f

_t de R³ vers R³ qui à q associe

t  q  t

^¹ est une rotation dont l'axe est engendré par la partie pure de t.

Plus précisément si

u

sin 2 cos 2

t  

 



, où u est un quaternion pur de norme 1, alors

f

_s est une rotation d'angle



, d'axe engendré par u.

En particulier si l'angle



est un demi-tour, t coïncide avec le quaternion pur u.

La composée de deux rotations correspond aux produit des quaternions :

f

_'t

 f

_t

 f

_'t__t

3) Applications numériques

On choisit le repère orthonormé de sorte que les quaternions i, j, k correspondent aux points suivants sur la sphère :

Le point de latitude nulle et de longitude nulle correspond à i Le point de latitude nulle et de longitude (ouest) 90° correspond à j Le pôle nord correspond à k.

(2)

Le point général de la sphère, de latitude



et de longitude



, correspond alors à :

k

sin j sin cos

i cos

cos            

a) Premier exemple

Les milieux

M

_ndonnés correspondent aux quaternions

t

_n suivants :

M

1 :

6  





 k

2 j 1 4 i 3 4

t

₁

 3     

M

2:

6  









k

2 j 1 4 i 3 4

t

₂

 3     

M

3:

6  









k

2 j 1 4 i 3 4

t

₃

 3     

M

4:

6  











k

2 j 1 4 i 3 4

t

₄

 3     

On calcule :

j

16 i 9 16

3 5 8 t 5 t t t

t 

₄



₃



₂



₁

    

Les points

S

₁ et

S '

₁sont sur l'axe de la rotation

f

_t, engendré par la partie pure de T.

Ils correspondent aux quaternions

( 5 i 3 3 j ) 13

s

₁

 2     

, où

   1

On obtient ensuite les quaternions des autres sommets en appliquant successivement les retournements

tn

f

qui transforment q en

t

_n

 q  t

_n^¹

  t

_n

 q  t

_n :

S

1 :

( 5 i 3 3 j )

13 s

₁

 2     

S

2 :

( 2 i 3 k )

s

₂

 13     

S

3 :

( 5 i 3 3 j )

13 s

₃

 2     

S

4 :

( 2 i 3 k )

s

₄

13     



On trouve deux polygones symétriques par rapport au centre de la sphère.

(3)

b) Deuxième exemple

Les milieux

M

_ndonnés correspondent aux quaternions

t

_n suivants :

M

1 :

  0

6  



j

2 i 1 2

t

₁

 3   

M

2:

  0

6  



 j

2 i 1 2

t

₂

 3   

M

3:

6  



  0

k

2 i 1 2

t

₃

 3   

M

4:

6  



   0

k

2 i 1 2

t

₄

 3   

On calcule :

k

4 j 3 4 i 3 4 2 4 t 1 t t t

t 

₄



₃



₂



₁

      

Les points

S

₁ et

S '

₁sont sur l'axe de la rotation

f

_t, engendré par la partie pure de T.

Ils correspondent aux quaternions

( 3 i j k )

s

₁

  5     

, où

   1

On obtient ensuite les quaternions des autres sommets en appliquant successivement les retournements