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Dépôt Institutionnel de l’Université libre de Bruxelles / Université libre de Bruxelles Institutional Repository
Thèse de doctorat/ PhD Thesis Citation APA:
Dirickx, M. V. (1999). Contribution à l'étude du transport néo-classique dans un plasma de tokamak en présence d'un champ électrique intense et/ou à variation spatiale rapide (Unpublished doctoral dissertation). Université libre de Bruxelles, Faculté des sciences, Bruxelles.
Disponible à / Available at permalink : https://dipot.ulb.ac.be/dspace/bitstream/2013/211928/1/7fdfd771-2b98-4408-8e33-96fad1f63792.txt
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uiNivnKMlt, LJLBKb Dü BRUXELLES Faculté des Sciences
Physique théorique et mathématique Unité de Physique statistique et Plasmas Association EURATOM - Etat Belge
CONTRIBUTION A LETUDE DU TRANSPORT NEO
CLASSIQUE DANS UN PLASMA DE TOKAMAK EN PRESENCE DUN CHAMP ELECTRIQUE INTENSE ET/OU A VARIATION
SPATIALE RAPIDE
003134330
Thèse présentée en vue de l'obtention du titre de docteur en Sciences
Michel Dirickx Juillet 1999
UNIVERSITE LIBRE DE BRUXELLES Faculté des Sciences
Physique théorique et mathématique Unité de Physique statistique et Plasmas Association EURATOM - Etat Belge
CONTRIBUTION A LETUDE DU TRANSPORT NEO
CLASSIQUE DANS UN PLASMA DE TOKAMAK EN PRESENCE DUN CHAMP ELECTRIQUE INTENSE ET/OU A VARIATION
SPATIALE RAPIDE
Thèse présentée en vue de l'obtention du titre de docteur en Sciences
Michel Dirickx - - Juillet 1999
Contents
1 Introduction généreile et résumé, en français 19
JLl Généralités sur la fusion t.hprmnnu<>lRa.irp... 19
1.2 Utilisation pacifique des réactions_de fusion... 21
1-2.1 généralités _ ... '... ... 21
1.2.2 Le piège toroïdaL ... 22
1.3 Le courant de bootstrap... 24
1-.4 - Théorie du centre-guide ... 25
1.4.1 Importance de la théorie-rfii centre-guide... 25
1.4.2 Théories- bamUtcuiiennes-c,ontre théories non hamil- tonniennes ____ . . . '... 25
1.5 Champ électrique et/ou gradient de champ électrique important 26 1.6 Plan du travail... 27
-I^asic Tools 35 2 Basic tools 37 2.1 -Introduction.-. .-. .... . . . ... 37
2.2 Microscopie description of a plasma... 37
2.2.1 Conservation pre^erties of the collision intégral .... 40
2.3 Macro^opic description of a_plasma... 41
2.3.1 Macroscopic-quantities of.a plasma... 41
2.3.2 Kinetic équation revisited ... 43
2.3.3 - Equations of évolution of the macroscopie quantifies . 43 2.4 The Hermitian.moment représentation ... 46
2.4.1 - Characteristic times scales. The quasi-neutrality ap proximation ... 46
2.4.2 The local plasma equilibrium State... 48
2.4.3 The Hermitian moment expansion... 48
\
3
27474 - Glassifieationro£-the.moments...
-2A.5 JEquations £>f évolution foi^-the moments. I. General form 2.4.6 Equations of évolution-Éonthe moments. II. The gene-
rali7e<l frirtions...
2.5 ^ The elasskal-tFan^poFt theory...
„-2^.1 The linear transport-régime...
2:5.2 Solution of the linearized rnoment équations. Asymp- ... totics and Markovianization. Moment description and thermodynfunics ...
._2.5.3_The classical Jtransport co^cients...
2.5r4 DisGussion ctf the transport équations...
___ 2A5_Limiting-values of_the transport coefficients in a very strong magnetic-field . . . .. ...
2.6 Toroidal magnetic confinement . ...
2.6t^1 Magnetic surfaces . ...
. _2.6^ Magnetohydrodynamic equiiihrium. Toroidal co-ordinate Systems i . ... ... . ...
... ...2.6.3 Surfaces qnantities...'...
2.6.4 Surface averages^ ...
. _2.6.5 A dapted représentation-of tihe magnetic field in the ease otamaxisymmetric System ...
-, 2.6.6 The standard model andThe Knorr model...
2.7 Standard neoedassieal-transport theory, poloidal fluxes and .bootstrap_current... '...
2.7.1 “Short andTongmean- free path régimes...
2.7.2 The Hermitian moment expansion...
2.7.3 The Ghew-Goldberger-Low (CGL) pressure tensor . . ... . 2.7.4 The vector moment équations...
2.775 The average paraJlel fluxes ... ...
2.7.7 The p>erpendicular fluxes ...
2.7.8 The zero-divergence constratnt. The “poloidal fluxes”
2.7.9 The average parallel electricjpurrent...
II Hamiltonian theory of the guidir^g-centre motion in an -arMtraiy-eieG-tr4G -field
3 Guiding-centre motion in a weak but strongly sheru*ed elec- tric field
51 52 56 58 58
62 62 65 67 68 68, 69 71 72 73 75 78 78 79 80 81 83 84 86 87 90
93
99
3.1 Introduction... 99
3.2 PseudocaHenieal-tFaBsfdrmationapf the particle variables . . 100
-3JÎ The guiding-centre motion in a stat.îc field... ... 106
3-.4 Construetionrof the averaging transformation. Generalities . . 109
_3.5 Rxplicit construction of the-averaglng transformation. I. First ©rder ... ,...115
. _3-5J....jGyrophase-independence-af the Poisson brackets in- v^kig the-ener^ - . ... .. ...115
-.3.5..2 . Gyrophase-independence oTthe other fundamental Pois- sen-braekets ... 119
3.5.3 Détermination of the àdiabatic invariant... 120
3^- Exp>licit constructionr of the averaging transformation. II. Sec- - ond order _ ____...._... '... 124
376.1 Standard case - --- - - . ... ...124
3.6.2 Strong.electric-field^radient... 127
3t7 Comparison with experimental data and application to the banana orbits in an axisymmetric tpkamak ...130 .
-3r8-Gonclusiens... 131
4 Extension of the standard gyroanglè-averaging approach of the drift-kinetit équation-for large electric field 135 _4.1 Introduction__ _____ ___________-... 135
4.2- General equilibrium flows in arbitrary magnetic geometry . . 137
4.3 The standard gyroangle-averaging-approach of the drift ki- netic-équation— ... 138
.4.3J. The time dérivatives . . . . '...138
4.32 -T-he raultiple-time-sceile perturbation expansion .... 140
4.3.3 The drift, kinetic équation ... ... 142
4.3.4 Thermalization and decay pf poloidal rotation...146
4:4 The drift kinetic équation ofüazeltine and Ware... 149
4.4.1 - The time-derivatives . . ...149
4.4.2 The drift. kinetic équation ... 150
4.4.3 - Sunamary of results . . . ...153
The Work of Hinton and Wnng . .^... ...154
4.6 The approach of Shaing and collaborators... 154
4.7 ■ Conclusions ; ; . . . . ... 155
5— Phase-spæe Lagr2ingian-üe-transform approach of guiding- centre motion 159 5.1 Phase-space Lagrangian formalism ... 159
5v2 ... ... ... . 159
5^.1 ^eroth-order perturbation-aîialysis ... 161
5.2.^-EirstTOtder_perturbatioii_analysis... 161
5.2.3 Second-order perturbation ayalysis ... 162
-5.2.4 Thir^-order^erturtbation analysis . ... 165
fi Hamiltnnian thfinry nf tbf» giiidJng-rentre motion in an ar- hitrary elortrir fiolH. MotboH of Weyssow and Balescu 167 6.1 Pseudocanonical transformations of the particle variables . . 167
6.2—The guiding=centremotiomin a static field...172
6.3 Construction of the_ayeraging transformation. Generalities . . 173
6.4- -Explicit construction of the averaging transformation. I. First order . . .... . . ... . ... 175
6v4.1- Gyrophase indef)endence of the Poisson brackets in- volving the energy - . . . .'... ... !...175
6.4.2- - Gyrophase.independencé.of the other Poisson brackets 176 6.4.3 Détermination_of_q^2) 177
6.4.4- Détermination of the ne\v Hamiltonian... 177
6.4.5 Détermination of the_adiabatic invariant associated witE the cyclic variable 4>... 178
6.4.6 Détermination of the constants...179
6.5 - Explicit construction of the avera^ng transformation. Second order ____________ ________ . . ...185
6v5.1 - General-équations- r . ._... 185
6.5.2 The Hamiltonian is_4)rivileged ... 187
6r5.3 The usual ‘magnetic moment’ mW'^/2B. is privileged . 192 6.5.4 Link with the results nf_Hazeltine and Ware, Hinton and Wong, and Brizard . ... 194
6.6 The guiding-centre motion in a non-ptatic field... . 197
6.7 -Conclusions... ... 200
7 The motion of charged particles in-tokamaks 203 7.1 Introduction-. ...^... ...203
7.1.1 Model of the magnetic fieid, équations and intégrais e>f motion . ... ,...206
7.2 Motion.of charged_pajticles in ajtokamak in the presence of êu-weakJbut strongly sheared electric field... ... 209
7.2.1 Magnetic moment . . . . ... . 209
7.2.2 Equation of the trajectories ... 209
7.2.3 Trapping condition in the case of a constant electric
field..., . . 211
7.2.4 Best global approximate représentation of the trajec- tories in the case of a constant electric field... 216
7.2.5 Approximate représentation of the trajectories lead- ing to the “exact” trapping criterion, in the case of a constant electric field... 219
7.2.6 Trapping condition and approximate représentation of the trajectory..in 4he general case ... 222
7.2.7 Link with the results of Balescu and Xiao, Hazeltine and-Valanju...227
7.3 Guiding-centre orbits close to the magnetic axis in the prés ence of a .weaJi but strongly sheared electric field ... 231
7.3.1 Passing particles with an < —l ... 233
7.3.2 Passing particles with (7K > 0... 234
7.3.3 Trapped particles (—1 < cr/t < 0) ... 236
7.3.4 Application to the bootstrap^current close to the mag netic axis... 237
III Transport in the presence of a strong and/or strongly sheared electric field - 247 8 Thermalization and relaxation in a tokamak 249 8.1 Introduction... 249
8.1.1 Reminder of standard neoclassical theory...250
8.1.2 Extension to the case of a strong electric field... 252
8.2 .First case: the.poloidal Mach number is of order 77“^ .... 254
8.3 Second case: the poloidal Mach number is of order 77® ... . 254
8.3.1 Dérivation of the drift kinetic équation . ... 254
8.3.2 Détermination of the poloidal velocity of order 77 . . . 261
8.4 Conclusions... 263
8.4.1 Order 77“^... 266
8.4.2 Order 77“^... ... . 266
8.4.3 Order 77^ ...267
8.4.4 Introduction of the diamagnetic flow...269 9 EfFects of orbit squeezing on ion transport, poloidal mass
■ ; flow and bootstrap ciirrent in the b2uiana régime in toka-
TTiaks 281 5.1 Introduction . . . ... 281
9.2 The method of the linearizeH drift kinetic équation (Shaing
and Hazeltine) ... 282 9.2.2 Variation ofpoloidal angirlar^elocity over particle tra-
jectory___________ . ...285 9.2.3 Expression of the coefficients of the drift kinetic équa
tion in function of the toroidal invariant...286 9i.2.4 Shaing’s solution of thVlmearized drift kinetic equation287 9.2.5 Trial ta cure the prohlem hy the method of multiple
scale... ... 290 9.2.6 Gonclusions,.... ... 292 9.3 The_global method_(Hinton.ahd Kim) ... 292
973vlr Détermination of the- angular velocity which cancels the electric field in the rota.tlng frame at some conve- nient radius ... 293 9.3.2 Jnterpretation of the sum-«f the fictitious forces as a
Lorentz force... ... ,...295 9.3.3 Guiding-centre transformation, invariants and trajec-
tories . ... ... ... . 296 9.3.4 Kinetic dérivation of flowsJh an “isothermal” plasma 299 9.3.5 Poloidal rotation . ... . ... ... 310 9.3.6 Possible refinement to the theory of Hinton and Kim
and preliminary conclusions ... 311 9.3.7 Generalization to arbitraryijnagnetic surface geometry 313 9.3.8 Application to the bootstrap current...322 9j3»9 • Conclusions . : ... . ...322
10 Conrlii.sions 325
A Vector identifies^ dérivatives and iptegrals 339 A.L Vector identitifis ... 339 A.2 Vector dérivatives and intégrais . ...339 :_A.3 _Identities Jnvolving JiG... 340
B Rôle of the Kruskal condition 343
<O few éléments of tensor calculus 345 1 Lie (or directional) derivative of a vector in an axisymmetric
magnetic configuration... 345
Index of Notations General Remarks
Vectors and tensors are printed in boldface characters (e.g.: v, B). The Horm- ^ ar-veetor-is- represented ^ the-corresponding Italie letter (e.g.: v, B).
Vector or tensor components are denoted by Latin subscripts. Repeated veetor indices arc summed- ever^ («£eept- ^4chen a contrary prescription is
Scalar produots-of two-vectors are dgnoted by a dot: b • v. Vector 4>roducts oflwo vectors are-denotejj-as Jollews: b A v.
The nature ©f the- species is denoted by a Greek index. Its position -.as-a siibscript xtr-a-Superscript Js irxelevant. (Most often, but not always, scalar quantities bear a species subscript and vector quantities bear a species superscript.) RepeatedJndices.are, of course, not summed over.
Two types of averrb^ng operations ap^ear mainly in this book. The gyro-av£rageAs.ssx. average over The gyrophase. It is denoted by an over bar whereas the purely oscillating part is denoted by a tilde: A, A = A — A.
The surface-average is an average over a magnetic surface. It is denoted by obtuse brackets: (A).
Spécifie notations
Or
a
A ^ A
A(x)- - Jb
b, et, ©2 - "
b, ni, -02 Bfx)- . S(xK - Bp^-Bo -Bo
e- D D?
Minor radius of the toroidal configuration -Temperature-mass ratio 58
Larmor frequency-relaxation time ratio 58 - Mass number of the ions
Vector potential 101
Unit vector along magnetic field Fixed local triad - 102
Moving local triad -102
Magnetic induction, (improperly) called magnetic field 74, ??
Magnetic field intensity Polnida.1 magnetic field Toroidal magnetic field
Surfacer-averaged \reference) magnetic field Dimensionless velqcity (relative to average 103, 169\
Convective dérivative of species a 44
88) 48)
Geometrical triad 71 Dynamical triad
E(x) Electric field 63
Ê(x)^ Modified electric field E{^) Electric field intensity
e(^) Electric field induced by purely external means
EE Particle, energy 108
£ Guiding-centre Hamiltonian 108
F Force.per unit mass (Hazeltine and Ware) 149 Fq Arbitrary function entering the zeroth-order average
local velocity 148
•As|pç Symmetrization operator 55 g)p(i)p
ga(l)P^ gf^)P
Dimensiohless modified electric field 60 Dimensionléss “radial” pressure gradient
Dimensionless source term for particle flux eq. 61 Contribution of the partial pressure of species a to
g”™,
i-n, 9?w Gra{^}
hrs^} (x, t) h(i),
Jja(2p+1) T,«(2)
itrs i,“(2p)- iLrsjà{A) ftrs H{ci,p) Htl(c)
m
82
Contribution of the electrostatic field to 82 . Contribution of the field induced by purely external means to g“^^^ 82
Dimensionless température gradient 60
Additional dimensionless source term for particle flux eq 82
Additional source term 82 Landau tensor 39
Irreducible tensorial Hermitian moments 50 Dimensionless elgctrie current density 52 Dimensionless particle flux of species a 50; 52 Dimensionless heat flux of species a 50, 50 Vectorial Hermitian moments of species a 50 Dimensionless dissipative pressure tensor 50, 50 Tyaceless tensorial Hermitian moments 50 Generalrzed dimensionless stress tensor 84 Hamiltonian LOI
Irreducible tensorial Hermite polynomials 50
Covariant toroidal component of the magnetic field 74
Ij>
/t
_ja(l)
to-Ar- ---Lu
P- ..jÿ
U-1 -^Hj
l}3 ma M
Total poloidal current 72 72 Electric current density 42
Eunctidn independent of the poloidal angle entering the parallel particle flux of species a 87
. £killisiûn-4erm of species o 39
Collision term of species a due to species f3 Neoclassical coefficient 88
Geuloinb logarithm 39 HydrodjaiafflieaL length 46
One-pafticle Liouvillian operator 39
Poisson brachet-of the p>article variables z* and 111
—Contribution-ef-order e” to the Poisson brachet 111 Poisson brachet of the guiding-centre variables Z* and 'Poisson brachet of the guiding-centre variables Z'* and
Z'J 109 '
Contribution of order to the Poisson brachet 111 Mass of particles of spe^es a
Adiabatic invariant associated to the cyclic co-ordinate
<j>\ 107 Mp
7ta-(x, t) P
P(x,t) - lia _pa J
î * TM
Fl q-
^),-q(27 - - q“(x,t), 9“(x,t)
Poloida.1 Mach number
Particle iiensity of species a 41 Total number of particles of species a Sanonical momentum of a particle 100 Total pressure
Partial pressure of species a 42 Pressure tenapr of species a 42 -Toroidal invariant
Toroidal invariant, up to an additive constant Setond-rank tensor: nini + = 1 — bb Second-rank tensor: n2iii — nin2
Safety faictor;. - JZ2,_15, 76
Position Go-ordinate of a particle 100
Coefficients of the_guidtng-centre transformation 106 Functions independent of the gyrophase ip that can be addedr to q(x) and q(2) respectively
Heat flux of species a 43
Collisiorial rate of heat exchange 44
^“(2) ^<?(2?)_
Qo
Qr
r ro R R Ro Roo
Ta(x, f) u(-Xj i) Uo Uo u“(x,0 U
^11 v±
Vi'iP) VTa
ly Y
Z Z' Z
Dimensionless friction force 53
E)imensionless generalized frictions 54 Second-rank tensor: nin2 + n2iîi Second-rank tensorkriini — 112112
Distance to the magnetic axis (Knorr model)
Distance from the “initial” point of the trajectory to the magnetic axis
103
Distance to the axis of symmetry ??
Distance from the “initial” point of the trajectory to the axis of symmetry
Major radius of the toroidal configuration, i.e. distance from the magnetic axis to’ the axis of symmetry
Collisional friction force 44 Température of species a 42 Centre-of-mass velocity 42
Zeroth-ofder average local velocity 135 Uo + U||b, lio 4-47-b .139
Average velocity of species a 41
Guiding-centre variable corresponding to the particle parallel velocity uy 106
Velocity of a particle 101 Velocity of a particle
Parallel component of particle velocity Magnitude of particle perpendicular velocity Volume enclosed by a magnetic surface 71 Thermal velocity of species a ' 40
JDrift velocity of-a_guiding-centre of species a 150 Diamagnetic velocity of species a 137
jünetic energy per unit mass (Hazeltine and Ware) 149 Guiding-centre variable corresponding to the particle
^perpendicular velocity v± 106
Position co-ordinate of a guiding-centre 106
Vector pf .particle: phase-space co-ordinates 106, 110 Vector of particle phase-space co-ordinates 108
Vector of guiding-centre phase-space co-ordinates 106, 110
Vector of guiding-centre phase-space co-ordinates 108 Atomic number of the ions
OiA 5a
P e
-
Saisit}
ï}
n{r^ - -m -...--■
-Vb
^ .
e . ' . K
-Ka
'^A- Ah
Ad -
—Ar^ ...41
Ai-
^(i)> ^\m
Dimensional thermoelectric coefficients 63 Dimensionless thermoelectric coefficients 62
“Beta” factor
Earticle flux of species a 41 E>rift-paFameter
__Antisymmetrlc Levi-Civita Symbol
IfiternaL energy per particle of species a 41 ._Inverse_ aspect Æfttio-
Local inverse aspect ratio (Knorr model)
■ Val-ue-jQf the local inverse aspect ratio at the “initial”
pûint of the trajectory
- _Dimtensional viscosity coefficients 64 Dimensionless viscosity coefficients __Eoloidal-angle - - - - •
liapping j>arameter _ ^
Dimensional thermal -nonViiirtivity coefficients 63, 63 Dimensionless thermal conductivity coeSicients 62, 63 SmaJl parameter , classical transport theory 59 Debye length 40
-Mean free path
Bleetren^to-ion me^s ratio 38
__Magnetic moment, (particle variable)
Magnetic moment per unit mass (particle variable, Hazeltine_and Ware) v 149
Bansma pseudo-viscosity coefficients
Coefficients of the_guiding-centre transformation 106 Punctions independent of the gyrophase that can be .. added .tD.j^|^^y and i/||(2) respectively
Coefficients of the guiding-centre transformation 106 Fimctions independent of the gyrophase that can be added to-4/j_^) and /^j_(2) respectively
4 -Ibroidai-anglé
■7f“(x, t), 7r“g(x, t) Dissipative pressure tensor of species a 43 ./2(x, t) . Massdensity
■ - Electric chmrge density 42
... ... Dimensional electrical "conductivity coefficients 63 Dimensionless electrical conductivity coefficients 62 cr“(x, t) Entropy production of species a
Ta
<^(1)
<^(1)
$p x“(c;x,t) i>
i’
<
fîo.
Relaxation time of species a 56 Neoclassical faetor
Gyrophase of the particle 102
Coefficient of the guiding-centre transformation 106 Function independeut of the gyrophase ip that can be added to
Guiding-centre variable associated to the gyrophase ip of the particle 106
Dimensionless Maxwellian reference distribution function 49
Scalar potential 101 Poloidal flux 71
J^on-equilibrium déviation from reference d.f. 49 Surface quantity labelling the magnetic surfaces 69 Poloidal flux function 74
“Poloidal fluxes” 88
Larmor frequency of species a 103
Remerciements
Au moment de mettre la dernière main à ce travail, je voudrais remercier du fond du coeur mon cornpagnon de route, le Docteur Boris Weyssow.
Toute ma gratitude va également au Professeur Roger Weynants, qui a initié le projet, au Professeur Paul Vandenplas qui a repris le flambeau et assumé la lourde tâche de co-promoteur, à mes collègues et amis de la Chaire de Physique et du Laboratoire de Physique des Plasmas de Ecole Royale Militaire en général et aux Docteurs Dave Faulconner et Dirk Van Eester en particulier.
Je dois également beaucoup au Professeur Radu Balescu, non seulement pour les quelques discussions très'instructives que j’ai eues avec lui, mais surtout pour les deux magnifiques livres qu’il a écrits, qui ont été mon credo et auxquels je fais sans cesse référence.
Je remercie aussi le Professeur Théo Schep et les membres du groupe de théorie, du FOM-Instituut voor Plasmafysiça ‘Rijnhuizen’ pour l’hospitalité dont ils ont fait preuve à mon égard.
Merci à Madame Dujacquier, au Colonel de Gendarmerie en retraite Karel Van Gasse et à Monsieur Willy Wauters; au Général de Brigade Jacques Simon, au Colonel Breveté d’Etat-Major Marc De Muyer et au Major Daniel Doumont.
Enfin, je tiens à remercier mon épouse Fabienne qui a assuré, souvent seule, l’éducation de mes enfants pendant l^s périodes où j’étais physique
ment ou mentalement absent et mes trois enfants Olivier, Nicolas et Caroline.
17
Introduction générale et résumé en français
XSéjaéjjalités SUT la fusion thermonucléaire
^L’énergie de liaison E^, d’un noyau est le tçavail qu’il faudrait fournir pour disperser à l’infini ses nucléons (protons et neutrons) constitutifs. En vertu de l’équivalence masse-énergie, la masse; du noyau est inférieure à la somme des masses des nucléons constitutifs et ce défaut de masse Am est tel que
El = Arn X(?.
L’énergie de liaison est une fonction croissante du nombre de nucléons. Par contre, l’énergie de liaison par nucléon présente un maximum pour le noyau de ^®Fe, ce qui correspond au fait que celui-ci est le noyau le plus stable. Il en résulte que la fission d’un noyau lourd en deux fragments mi-lourds et la fusion de deux noyaux légers en un noyau mi-lourd libèrent toutes deux de l’énergie.
La fission présente les inconvénients suivants :
(i) Parmi les produit^de fission, un grand nombre est radioactif et certains d’entre eux ont un temps de deiiir-vi& très long.
(ii) Il existé un risque d’accident car le combustible présent dans le réacteur, après un rechargement par exemple, correspond à une à deux années de fonctionnement.
(iii) Les réserves de matière fissile sont limitées. Bien sûr, on pourrait uti
liser des surgénérateurs pour produire plus de matière fissile (^^®Pu) 19
que ce queJ’ou CQnsomme-(^^^U) -mais cette option est, encore moins que la fission, susceptible de recevoir l’adhésion des opinions publiques occidentales.
La fiisien- thermomtclcoirc contrôlée- ne ,^résente pas ces inconvénients.
En outre,.la quantité d’énergie libérée par nucléon est beaucoup plus grande que dans une réaction de-fission de-l’©rdre de 3,5 MeV/nucléon contre 0,85 -Meyynucléon.
La fusion-joue-UHr rôle très important dans la natmre. En effet, c’est la source, d’énergie des étoiles et.e’est de-cette façon que tous les éléments plus lourds qued’hydrogène ont été fermés (nücléosynthèse). Dans les étoiles jeunes, le mécarûsme ^rindpal-estda-traHsformation d’hydrogène en hélium.
Ainsi, dans le-soleil,-9; 35.10^^ noyaux d’hqlium sont-ils formés chaque se- -conda .Ceci correspond-à_uneq)erte de masse de 4,45.10® kg/s, énorme certes mais négligeable devant la masse du soleil (m© = 2.10^® kg). En d’autres termes^ la fusion thermonucléaira dansde soleil est contrôlée de façon natu- ._relle.
Pour réaliser la-fusion-de-deux-noyaux.^chargés positivement, il faut les du rayend’actkm ro de la force nucléaire. Les noyaux doivent posséder une - énergie cinétiqiie.suffisamment grande pom vaincre les forces de répulsion coulombiennes. L’énergie cinétique minimale est obtenue pour des noyaux d’hydrogène (au sens large) et est, classiquement, de l’ordre de
47reo'‘o l1^5 MeV, où ro 1,4 fm.
Quand cette énergie cinétique est obtenue par une augmentation de température, on a:
keV correspond à une tep^pîérature de extrêmement élevées pour
= ^T
Une énergie cinétique moyenne de l’ordre dé 10^ K._
initier-des réactions de-fusiouT -
.. Or, on estime la température an centre-dii soleil à 12 à 15.10® K, ce qui ecarrespond; à-une-énergie cinétique-m^ieiuiç de l’ordre de 1 keV, insuffisante __ donc pour donner lien à une fusion massive: Mais il ne faut pas perdre de vue-l’existence de-l’effet tunnel et de-particules très rapides dans la queue de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Il y a donc un certain nombre de noyaux suffisamment énergétiques pour ^uvoir fusionner. Comme ce
nombrexest très petit et l’énergie produite évacuée vers l’extérieur du soleil, la fusion thermonucléaire est contrôlée.
1.2 Utilisation pacifique des réactions de fusion L.2.-U
La réaction la plus facile à obtenir sur terre est la fusion d’un noyau de deutérium et d’un noyau de tritium :
fD+?T-^ |He+0 n + 17,6 MeV. (1.1)
Elfe présente beaucoup d’avantages:
1. L’énergie libérée par unité de masse est beaucoup plus grande que pour une réaction de fission.
2. La réaction est régie par l’interaction forte (contrairement à la fusion de deqx noyaux d’hydrogène léger) et les forces de répulsion coulom
biennes sont les plus petites possible.'
3. Les matières premières ne manquent,pas : il y a 30 g de deutérium par m'^ d’eau de mer et on peut obtenir le tritium par la réaction suivante :
^Li+àn^ ?T^|He-l-4,86 MeV. (1.2)
Le lithium est présent en quantité significative dans l’écorce terrestre eL l’eau de mer.-L’isotope ^Li-représente 7,5 % du lithium naturel.
4. Les neutrons produits activent certes la structure du réacteur mais une sélection stricte des matériaux de cette structure permet de réduire à une centaine d’années le stockage des matériaux rendus radioactifs.
L’énergie produite sera supérieure à l’énergie nécessaire pour maintenir le plasma à la température désirée, si le critère de Lawson est vérifié :
mTETi >./(T), . (1.3)
où ni est le nombre d’ions par unité de volume, rg le temps de confinement de l’énergie et Ti la température des ions. La fonction /(T) présente un mini
mum approximativement égal à 10^^ m“^sK pour T 10^ K. On atteindra l’ignition, c’est-à-dire quej’énergie ciiiétique des particules alpha produites sliffirà'àùhàihtèniFfe plasihà à'ia température requise si
, ; (1.4)
avee-Tj de l’ordre de 100 à 200 millions de kelvins. A cette température la matière se trouve à l’état de plasma.
1.2.2 Le piège toroïdal
Gomme-aucuDr-réeipieflt^ Be-peufr Fési&tep-à^une telle température, le confi- nement,du-p]a.sma est réalisé-par des champs magnétiques. Dans un champ magnétique-uniforme et en l’absence de-collisions, une particule chargée de jtype_.û;_(.û: _=_-£_pûur.les électrons _et.i.pour les ions) décrit une hélice de pas constant et la projection de sa trajectoire dans un plan perpendiculaire au champ magnétique est un cercle parcouru à la fréquence (angulaire) de Larmor,
jeal-g ma ’
et de tayotLégal au rayon de Larmor, Tha—
\Çla\
(1.5)
(1.6) 0n a donc un eon&iement transversal parfait mais aucun confinement lon-
gitiidinal. "
L’idée-du piège toroïdal est de-fermer les lignes de champ sur elles- __mêmes et-dejéaliser ainsi un tore de lignes-de champ. Ceci est réalisé par un solénoïde-toro'Kial. Dans-un tel soléno'ïde, le champ magnétique est toroïdal _et plus intensè-du-côté. intérieur jiu-tore-que du côté extérieur. Dans une section droite, il existe donc un gradient VB dirigé vers l’intérieur. Les particules du plasma sont, en première approximation, soumises à une force moyenne, F, donnée par
F = -nVB. (1.7)
Cette force crée une vitesse de dérive, dépendant de la charge des particules :
YS = Fl'AB"e~aB^ (1.8)
Dans chaque section droite du tore (voir fig. 1.1), les ions positife se concentrent dans la partie inférieure et les électrons dans la partie supérieure. Ainsi un champ électrique estdl créé et donne-t-il lieu à une force exercée sur les par
ticules. Il en résulte une nouvelle vitesse de dérive. Celle-ci est indépendante de la charge et dirigée vers l’extérieur :
Vde = EI A B
52 (1.9)
Le plasma aura donc tendance à se déplacer en bloc vers l’extérieur du tore.
La solution à ce problème est l’application d’un deuxième champ magnétique
pour mélanger les ions et les électrons. Si on y . parvient, on supprime la polarisation, le champ électrique vertical et la dérive vers l’extérieur. Par application d’un champ magnétique poloïda}, on crée des lignes de champ
^hélicoïdales-enroulées sur des tores concentriques (fig. 1.1). Il existe deux
y
Figure 1.1: L’angle toroïdal ^ est associé à la symétrie de révolution autour de l’axp du tore. T.e champ magnétique toroïdal Bç et le vecteur densité de courant de plasma sont parallèles au vecteur unitaire ; l’angle poloidal 6 est associé .i, une rntatinn-dans une section droite du tore. Le chainp poloidal Bg est dirigé dans la direction de e^. Le champ total B = Bç + Bg est hélicoïdal. Les lignes de champ s’enroulent sur des tores concentriques.
réalisations pratiques :
Le-stell£u:ator---
Dans cette machine, le champ hélicoïdal est créé par des bobines qui se trouvent à l’extérieur du_plasma et -qui sont conçues de telle sorte que le champ magnétique total ait les bonnes propriétés. Ces bobines ont d’ailleurs des formes étranges.
Le champ poloidal y est créé par un courant de décharge Ip = circulant dans le plasma. Ce champ est caractjérisé par des lignes de champ circulaires ; le champ résultant est topologiquement analogue à celui du stellarator. Dans un tokamak, le champ poloidal est cependant beaucoup plus petit que le champ toroidal.
--Qu xitilise un t,ransforma,t,Rim _Le primaire est parcouru par un courant dépendant du-te»p&r-G^egt le- pktsmar kti-rciême qui joue le rôle de secon- _daire. Dans les applications usuelles-du transformateur, le courant qui circule dans-le-eireuit- primaire varie-sans-eesse- (il^st par exemple sinusoïdal). La . Jorce électrcunotrice.aux l)Qtnes_du.secondaire et, le cas échéant, le courant qui- y ekeule- sont alternatifo^ Dans un tokamak, on souhaite que le cou- __ rant de plasma circule toujours dans le .même sens et soit le plus constant possible. Gela implique qu!en régime-stationnaire le courant primaire aug- __ mente linéairement_Tl est clair que l’on ne peut pas maintenir ce régime indéfiniment.-Aussi,-la réalisation-d’uii réacteur de fusion fonction- __nant. en régime, stationnaire _passe-t;ÆHe obligatoirement par des méthodes non-inductives de génération du courant de plasma.
C’est dans ce cadre que le courant de bootstrap est appelé à jouer un rôle essentiel.
t.S- Le cottFant <ie-bootstrap^
Loeourant de bootstrap est un des effets ctpisés qui font la beauté de la ther- moHynamiqiie du nnn-éqiiilihre Tl est créé^mSn pas par un champ électrique mais bien par le gradient-de-fH-ession. et, dans une moindre mesure, par les gradients de température électronique' et ionique. Le vecteur densité de courant est parallèle au champ magnétique, donc pratiquement toroïdal.
_____T/efficacité relativement modeste Hpsddférpntes méthodes non induc
tives de-génération du courant de-plasma.,(“current drive”) ne permet pas
l’extrapolation vers un réacteur dans lerpjeHes décharges seraient purement non inductives, à moins que le courant de bootstrap ne fournisse une fraction importante du courant de plasma-(typiquement plus de 60 %) (Bécoulet et
al. 1998). ''
Dans UH p>lasma auto-efttretenu, cette fraction élevée de courant de boots- trap seraxréée par le fort gradient .de.pressiôn thermique dû aux particules alpha très énergétiques qui seront produites par les réactions D-T (Bécoulet et al. 1998). A l’heure actuelle, le coiirant.dediootstrap fournit déjà l’essentiel du courant de plasma près du bord, là où la longueur car2ictéristique du gra
dient de pression (via le gradient de densité) est de l’ordre de l’épaisseur des
“trajectoires bananes^”. *
*Eii rauson du gradient luiigitudiiiat de champ qiagiiétique, certaines particules dites ..piégées n’ont .pas accès, ou.n’ont rjueqjartiellement accès, au côté “champ magnétique fort’’, c’est-à-dire au côté intérieur du tore. La “projection” de leur trajectoire dans une section droite du tore ressemble à celle d’une banane, d’où l’appellation trajectoire banane.
1.4 Théorie dtL contre-guide
1.4.1 de-la_théorieL du centre-guide
L’étude des phénomènes de transport dans les plasmas est subdivisées en trois_parties :
La théorie classique étudie le transport des particules, de l’énergie et de lajquantité de mouvement lorsque Je xhamp magnétique est (pratiquement) homogène et que le libre parcours moyen des électrons et des ions est beau
coup plus jjetit que les longueurs car^ténètiques associées aux gradients de toutes de toutes les grandeurs macroscopiques, y compris celle associée au charnp électrique.
La théorie néo-classique étudie le transport en présence d’un champ magnétique du type de ceux qui régnent dans un plasma toroïdal. Les différents flux se décomposent en une partie classique, associée à la gyration rapide de la_particule autour de son çeiflm-guide, et une partie néo-classique, associée au mouvement de ce centre-guide. Les,flux néorclassiques dominent, et de loin, les, flux classiques, X’étude-^u mouvement du centre-guide constitue par conséquent un chapitre important de la théorie néo
classique en_ général et.rle ce trai^aH en particulier. Elle repose sur l’existence d’un petit paraniètre, • le paramètre de dérive (“drift parame- ,ter’^) e, égal au rayon de Larmor divisé^^par la plus petite des longueurs caractéristiques associées aux gradients des différentes grandeurs macrosco
piques.
Aussi bien la théorie classique que la théorie néo-classique considèrent les charnps électrique et niagnétique comme-donnés. Dans le cadre du transport anomal, on essaie de traiter le problème de façon self-consistante, c’est-à-dire que l’on essaie de tenir coinpte de la rétroaction du plasma sur le champ électromagnétique, la densité de charge et le vecteur densité de courant entrant comme sources dans les équations de Maxwell.
1.4.2 Théories hamiltoniennes contre théories non hamiltôn-
niehnes-- ^
A l’origine, le mouvement du centre-guide a été étudié par la “méthode de Ja moyenne” qui consiste à_prendre la jnoyenne sur la gyrophase des seconds membres des équations de mouvement des six coordonnées de la particule dans l’espace de_phase. Cette méthodes-présente un inconvénient majeur : son application aux équations de mouvement détruit leur structure hamil
tonienne. La première pierre angulaire de la,théorie du transport dans les
plasmas, réquati©& de-Liottyille,-rDe^pe«vait-pas être démontrée et apparais- sait-Gomme une sorte de coastructioB- ad hqc.
Qn_a ejisuite développé une méthode où^ti établit directement l’équation cinétique de dérive en prenant la moyenne sur la gyrophase de l’équation cinétique pour la particule. Cette méthode fait explicitement appel à l’hy-
-f—--- 1 (1-10)
où / est la fonction de distribution, /p iinejnaxwellienne et /i une petite cor- reetioa. Dans cette méthode, la détermination des équations de mouvenient du cemtre-guide et l’établissement de l’équation cinétique de dérive sont pra
tiquement indissociables. Iæ concept de centre-guide devient d’ailleurs flou.
■-Si on n’y prend garde,^’estAdiré si xm reriiplace trop tôt les dérivées de fe par leur valem, on commet unè grave, erreur dans la détermination de la vitesse de dérive du centre-.guide..(iiintQn_and Wohg 1985).
Les théories hamiltonniermes^ dont il sera abondamment question aux
chapitres .1, 5 et 6 conservent évidenmieDt ^a structure hamiltonienne des équations de mouvement. Elles présentent un autre avantage qui va s’avérer
capital an chapitre 9: les équations de .mouvement du centre-guide sont établies-tout à fait indépeiidamment de l’équation cinétique de dérive et restent d’applicatiop, même si on ne peut pas supposer que la fonction de distribution est approximativement maxwellienne.
1.5 <3^amp -éleetT^ gradient de champ
électrique- imperlant -
La théorie néo-elassique-dont il a été-question jusqu’à présent est la théorie
néo-cla.ssiqiie standard T,e champ électrique ÿ est faible et à variation spatio- temporelle lente («i particulier la longueur caractéristique associée à son -gradient est très-grande_par rapport rayon de Larmor).
Néanmoins, ime-des caractéristiques du^mode H (high concernent mode), est la présence, au bord-du plasma, d’un champ électrique intense et à varia- tinn spatiale rapide (Ritz p.t al. 1984, 1987 ; Groebner et ai 1992 ; Burrell et air 1992 ; Moyer et aZ.-1995): -la longueur caractéristique associée au champ électrique et/ou celle a.ssociée à .son igradient n’est plus très grande par rapport au rayon de Larmor. Il y a donc lieu de remettre la théorie du mouvement du centre-guide sur le métier. Dans le cas où le champ électrique
est intense, cela ne pei^t d’ailleurs se faire que dans un référentiel tournant, afin de faire ‘disparaître’ ce champ électrique intense.
1.6 Plan du travail
(i) Le chapitre 2 constitue un rappel des-éléments des théories classique et néo-classique standard utilisés dans le reste du travail et une introduc
tion au courant de-bootstrap.---__
La deuxième partie est consacrée à l’étude du mouvement du centre- guide-en situatiomnon-standairl^-—-.
Au chapitre 3, on présente une extension de la méthode hamiltonienne de Weyssow et Balescu (1986) aujcas où le champ électrique est faible mais à variation spatiale rapide. Cette méthode consiste à imposer directement que les crochets de Poisson des variables du centre-guide soient indépendantes de la nouvelle gyrophase <f>.-
Le chapitre 4 est consacré, à une-pr^entation unifiée et un examen critique des travaux de Hazeltine et Ware (1978) et Hinton et Wong (1985). Ces auteurs ont utilisé lajiiéthode qui consiste à déterminer l’équation cinétique de dérive en prenant la moyenne sur la gyrophase ip de l’équation cinétique pour la^-particule et l’ont étendues au cas d’un champ électrique fort, via “élimination du champ électrique fort”
par le changement de variables (possible en mécanique hamiltonienne) suivant: '
V = v'-uo,
où x' et v' sont le vecteur position et le vecteur vitesse dans-le repère lié au laboratoire et où
E A B uo = —^2----
' à la vitesse moyenne de l’espèce considérée.
Ici, Uo|| et Fo sont deux fonctions arbitraires d’ordre .e®, R la distance à l’axe de symétrie et uj une pulsation liée au champ électrique fort et
constante-SUT, chaque surface magaétique. Un des principaux résultats est-que, àr t-’ordre-déminant, lar-fonction de distribution devient max-
■ wellienne et_UQ purement toroïdale-Bieii que cette méthode aille beau- coup-plus loin que-kb-détermination.,des équations de mouvement du rentre-giiide, on l’a placée ici ponrJa. faison évoquée plus haut, à sa
voir que la détermination des équations de mouvement du centre-guide et L’établissement de l’équation cinétique de dérive sont pratiquement indissociables.
Au-ehapitrc S^oH-préseiite ktrméthode développée par Littlejohn (1982) dans le ras standard et. étendue par Rriizard (1995) au cas d’un champ électrique fort. Cette méthode extrêmement puissante repose sur le ftiil que les équations d’Hamilton dérivent du principe variationnel :
6 ï -x = é / \p{t)j (ki{ty-H{t)] = 0.
Jo JO
Ici^ les ^ et p^- doivent être considérés comme indépendants. Alors que la méthode_de Weyssow et^Balescu’ne fait appel qu’à des concepts simples-et à quelques-formules d’analyse vectorielle, la méthode de Lit-
tlejnhn et Rri7,ard a recours à plusieurs concepts relativement évolués de-géométrie différentieller En outre,^ Brizard n’a considéré que le cas de variables standard (l’invariant adianatiqiie associé à la coordonnée eyclique-<;/>-est le-‘moment magnétique’), ce qui lui interdit de faire le
lien avec les résultats de Ha.7,eltine.-et’ Ware et de Hinton et Wong.
Plus encore, le problème en présence d’un champ électromagnétique dépendant du temps n’est traité que de façon indirecte.
Au chapitre 6, nous- généralisons la. inéthode de Weyssow et BaJescu dans le cas d’iin champ électrique Jntén.se et/ou à variation spatiale rapide. Divers choix de-constantes, sont considérés, ce qui permet soit de faire le Jien .avec les résultats de-Hazeltine et Ware et de Hinton et Wbng, soit d’annuler la dérive paxallèle d’ordre e et d’obtenir pour hamiltonien du centre-gnide la. moyonhe sur la gyrophase du hamilto
nien de la particule, soit d’obtenir des variables standard et d’annuler la dérive parallèle d’ordre e. En prenant la limite
( lim ^
V W->0y vV$=const
on retrouve en outre les résultats obtenus au chapitre 3, avec un autre choix d’échelles.
Le chapitre 7 est consacré-à i’étude des trajectoires du centre-guide dans un tokamak. Cette étude est basée sur l’existence de trois inva
riants, l’énergie totale, le ^Imoment jnagnétique’ modifié et l’invariant toroïdal. La plupart des traitements sont caractérisés par le fait que lesappxQxiinations sont disséminéesdout au long du raisonnement qui conduit à l’équation des trajectoires, de sorte que l’on obtient au
tant de critères dejpi^eage que d’auteurs. C’est le grand mérite de Shurygin (1995) et de Shurygin et Dewar (1995) d’avoir postposé les approximations concernant^ at et d’avoir obtenu une équations des trajectoires dont les coefficients ne dépendent de iî et iîo que par le rapport R/Bq. Ici, J2 est.Ia Jistanee du point considéré à l’axe de symétrie et Rq la valeur de R au point initial. L’équation des trajec
toires est une équation du second degré dont le discriminant Aqdépend donc de R]Rq. C’est à ce stade que Shurygin et Dewar ont regroupé les approximations. Certes, leur, critère de piégeage est de bonne qualité mais leur décomposition de Aqn’est pas motivée et reste mystérieuse.
La condition de piégeage A{ê = 7t) < 0
est trivialement suffisante. Nous montrons qu’elle est nécessaire puis nous donnons deux approximations-de Aq sur base de critères précis.
Dans le premier cas, on demande que la représentation globale de la -trajectoire soit la meilleure .possible -en imposant que l’erreur com
mise sur Ao soit d’ordre {R/Rq— 1)^. Malheureusement, le critère de piégeage obtenu n’est .pas de bonne-qualité, en ce sens que dans le plan {(C/o,kVo)}^ le domaine des centres-guides piégés diffère fortement de la réalité. Dans le deuxième cas, .on-demande que l’erreur commise sur
Aq soit nulle pour 0 = tt. Il est clair que cela conduit à un critère de jîiégeage ‘exact’, au détriment..de là qualité de la description globale de la trajectoire. Pour la première fois, on a aussi tenu compte de la correction a.n ‘moment magnéliqne’ suite à la variation spatiale rapide du champ électrique. Le cas d’un gradient de champ électrique très positif et le cas des trajectoires au voisinage de l’axe magnétique sont aussi traités.
\
est consacrée au transport proprement dit.
^Les variables de centre-guide IV correspondent aux vitesses parallèle et perpendi
culaire de la particule et l’indice “OiV fait référence aux valeurs initiales.
__Aji jcliapdtre_j8, .réexamine _les_xésultats de Hinton et Wong (1985) dans-le eas specifiqne-du tokamolc-où^comme mentionné plus haut, le xhamp4)oloïdal est heaucoup-plus-petit que le champ toroïdal. Il appert que-les- deu3t-termes-de-lar seeende. expression de uq, ujRe^ et GB, sont d’ordre B^/Rg. En particulier, -il ne peut pas y avoir relaxation de uo vers ujRe^. Nous tentons de construire une nouvelle théorie en . rempl2içant le choix d’échelle
par le suivant :
| = o(VJ).
Ge-eheix d-’éeheHe-est phts-^preche-de la réalité, certainement au bord du plasma.. Tl a d’ailleurs é±é adopté par Rogister (1995), qui a revu la théorie-néo-classique dans le-eas d’un plasma de tokamak fortement
mllisionnel (dans ce cas, il n’est pas nécessaire de résoudre l’équation cinétique de dérive). Dans le cas qui nous occupe, on est conduit à une équation intégro-différentielle de première espèce.
où JCi est Idpérateur de collision linéarisé autour de /o et /i la moyenne -sur la gyrophase dela-correction d’ordre e à la fonction de distribution.
Go type d’équation, où la fonction inconnue n’apparaît que comme ar
gument de l’opérateur linéaire, est excessivement difficile à résoudre (en particulier, on ne peut pas itérer).
-_Au chapitre 9, on se penche sur la-résolution de l’équation cinétique de-dérive eît p>réseBee-d’un ehamp électrique à variation spatiale ra- pide. Nous montrons que la. méthode linéaire, développée par Shaing et Hezeltine-(1992) et basée-sur l^approximation (1.10), conduit à un cul-de-sac. Nous nous intéressons ensj^rt.e à la méthode développée par Hinton-et Kim (1995). Ges-auteurs travaillent dans un référentiel tour- nant où le champ électrique s’anniile-pOiir un certain rayon r = tq, au voisinage duquel on cherche la solution. Pour eux, la fonction de dis
tribution des ions est, en première approximation, une fonction des
