XSéjaéjjalités SUT la fusion thermonucléaire
^L’énergie de liaison E^, d’un noyau est le tçavail qu’il faudrait fournir pour
disperser à l’infini ses nucléons (protons et neutrons) constitutifs. En vertu de l’équivalence masse-énergie, la masse; du noyau est inférieure à la somme des masses des nucléons constitutifs et ce défaut de masse Am est tel que
El = Arn X(?.
L’énergie de liaison est une fonction croissante du nombre de nucléons. Par contre, l’énergie de liaison par nucléon présente un maximum pour le noyau de ^®Fe, ce qui correspond au fait que celui-ci est le noyau le plus stable. Il en résulte que la fission d’un noyau lourd en deux fragments mi-lourds et la fusion de deux noyaux légers en un noyau mi-lourd libèrent toutes deux de l’énergie.
La fission présente les inconvénients suivants :
(i) Parmi les produit^de fission, un grand nombre est radioactif et certains d’entre eux ont un temps de deiiir-vi& très long.
(ii) Il existé un risque d’accident car le combustible présent dans le réacteur, après un rechargement par exemple, correspond à une à deux années de fonctionnement.
(iii) Les réserves de matière fissile sont limitées. Bien sûr, on pourrait uti liser des surgénérateurs pour produire plus de matière fissile (^^®Pu)
que ce queJ’ou CQnsomme-(^^^U) -mais cette option est, encore moins que la fission, susceptible de recevoir l’adhésion des opinions publiques occidentales.
La fiisien- thermomtclcoirc contrôlée- ne ,^résente pas ces inconvénients. En outre,.la quantité d’énergie libérée par nucléon est beaucoup plus grande que dans une réaction de-fission de-l’©rdre de 3,5 MeV/nucléon contre 0,85 -Meyynucléon.
La fusion-joue-UHr rôle très important dans la natmre. En effet, c’est la source, d’énergie des étoiles et.e’est de-cette façon que tous les éléments plus lourds qued’hydrogène ont été fermés (nücléosynthèse). Dans les étoiles jeunes, le mécarûsme ^rindpal-estda-traHsformation d’hydrogène en hélium. Ainsi, dans le-soleil,-9; 35.10^^ noyaux d’hqlium sont-ils formés chaque se- -conda .Ceci correspond-à_uneq)erte de masse de 4,45.10® kg/s, énorme certes mais négligeable devant la masse du soleil (m© = 2.10^® kg). En d’autres termes^ la fusion thermonucléaira dansde soleil est contrôlée de façon natu- ._relle.
Pour réaliser la-fusion-de-deux-noyaux.^chargés positivement, il faut les
du rayend’actkm ro de la force nucléaire. Les noyaux doivent posséder une - énergie cinétiqiie.suffisamment grande pom vaincre les forces de répulsion coulombiennes. L’énergie cinétique minimale est obtenue pour des noyaux d’hydrogène (au sens large) et est, classiquement, de l’ordre de
47reo'‘o l1^5 MeV,
où ro 1,4 fm.
Quand cette énergie cinétique est obtenue par une augmentation de température, on a:
keV correspond à une tep^pîérature de extrêmement élevées pour
= ^T
Une énergie cinétique moyenne de l’ordre dé 10^ K._
initierdes réactions defusiouT
-.. Or, on estime la température an centre-dii soleil à 12 à 15.10® K, ce qui ecarrespond; à-une-énergie cinétique-m^ieiuiç de l’ordre de 1 keV, insuffisante __ donc pour donner lien à une fusion massive: Mais il ne faut pas perdre de vue-l’existence de-l’effet tunnel et de-particules très rapides dans la queue de la distribution de Maxwell-Boltzmann. Il y a donc un certain nombre de noyaux suffisamment énergétiques pour ^uvoir fusionner. Comme ce
nombrexest très petit et l’énergie produite évacuée vers l’extérieur du soleil, la fusion thermonucléaire est contrôlée.
1.2 Utilisation pacifique des réactions de fusion
L.2.-U
La réaction la plus facile à obtenir sur terre est la fusion d’un noyau de deutérium et d’un noyau de tritium :
fD+?T-^ |He+0 n + 17,6 MeV. (1.1)
Elfe présente beaucoup d’avantages:
1. L’énergie libérée par unité de masse est beaucoup plus grande que pour une réaction de fission.
2. La réaction est régie par l’interaction forte (contrairement à la fusion de deqx noyaux d’hydrogène léger) et les forces de répulsion coulom biennes sont les plus petites possible.'
3. Les matières premières ne manquent,pas : il y a 30 g de deutérium par m'^ d’eau de mer et on peut obtenir le tritium par la réaction suivante :
^Li+àn^ ?T^|He-l-4,86 MeV. (1.2)
Le lithium est présent en quantité significative dans l’écorce terrestre eL l’eau de mer.-L’isotope ^Li-représente 7,5 % du lithium naturel. 4. Les neutrons produits activent certes la structure du réacteur mais une
sélection stricte des matériaux de cette structure permet de réduire à une centaine d’années le stockage des matériaux rendus radioactifs. L’énergie produite sera supérieure à l’énergie nécessaire pour maintenir le plasma à la température désirée, si le critère de Lawson est vérifié :
mTETi >./(T), . (1.3)
où ni est le nombre d’ions par unité de volume, rg le temps de confinement de l’énergie et Ti la température des ions. La fonction /(T) présente un mini
mum approximativement égal à 10^^ m“^sK pour T 10^ K. On atteindra
l’ignition, c’est-à-dire quej’énergie ciiiétique des particules alpha produites sliffirà'àùhàihtèniFfe plasihà à'ia température requise si
, ; (1.4)
avee-Tj de l’ordre de 100 à 200 millions de kelvins. A cette température la matière se trouve à l’état de plasma.
1.2.2 Le piège toroïdal
Gomme-aucuDr-réeipieflt^ Be-peufr Fési&tep-à^une telle température, le confi- nement,du-p]a.sma est réalisé-par des champs magnétiques. Dans un champ magnétique-uniforme et en l’absence de-collisions, une particule chargée de jtype_.û;_(.û: _=_-£_pûur.les électrons _et.i.pour les ions) décrit une hélice de pas constant et la projection de sa trajectoire dans un plan perpendiculaire au champ magnétique est un cercle parcouru à la fréquence (angulaire) de Larmor,
jeal-g
ma ’
et de tayotLégal au rayon de Larmor,
Tha—
\Çla\
(1.5)
(1.6)
0n a donc un eon&iement transversal parfait mais aucun confinement lon-
gitiidinal. "
L’idée-du piège toroïdal est de-fermer les lignes de champ sur elles-__mêmes et-dejéaliser ainsi un tore de lignes-de champ. Ceci est réalisé par un solénoïde-toro'Kial. Dans-un tel soléno'ïde, le champ magnétique est toroïdal _et plus intensè-du-côté. intérieur jiu-tore-que du côté extérieur. Dans une
section droite, il existe donc un gradient VB dirigé vers l’intérieur. Les
particules du plasma sont, en première approximation, soumises à une force moyenne, F, donnée par
F = -nVB. (1.7)
Cette force crée une vitesse de dérive, dépendant de la charge des particules :
YS = Fl'AB"e~aB^ (1.8)
Dans chaque section droite du tore (voir fig. 1.1), les ions positife se concentrent dans la partie inférieure et les électrons dans la partie supérieure. Ainsi un champ électrique estdl créé et donne-t-il lieu à une force exercée sur les par ticules. Il en résulte une nouvelle vitesse de dérive. Celle-ci est indépendante de la charge et dirigée vers l’extérieur :
Vde = EI A B52 (1.9)
Le plasma aura donc tendance à se déplacer en bloc vers l’extérieur du tore. La solution à ce problème est l’application d’un deuxième champ magnétique
pour mélanger les ions et les électrons. Si on y . parvient, on supprime la polarisation, le champ électrique vertical et la dérive vers l’extérieur. Par application d’un champ magnétique poloïda}, on crée des lignes de champ ^hélicoïdales-enroulées sur des tores concentriques (fig. 1.1). Il existe deux
y
Figure 1.1: L’angle toroïdal ^ est associé à la symétrie de révolution autour de l’axp du tore. T.e champ magnétique toroïdal Bç et le vecteur densité de courant de plasma sont parallèles au vecteur unitaire ; l’angle poloidal
6 est associé .i, une rntatinn-dans une section droite du tore. Le chainp
poloidal Bg est dirigé dans la direction de e^. Le champ total B = Bç + Bg est hélicoïdal. Les lignes de champ s’enroulent sur des tores concentriques.
réalisations pratiques :
Le-stell£u:ator---Dans cette machine, le champ hélicoïdal est créé par des bobines qui se trouvent à l’extérieur du_plasma et -qui sont conçues de telle sorte que le champ magnétique total ait les bonnes propriétés. Ces bobines ont d’ailleurs des formes étranges.
Le champ poloidal y est créé par un courant de décharge Ip = circulant
dans le plasma. Ce champ est caractjérisé par des lignes de champ circulaires ; le champ résultant est topologiquement analogue à celui du stellarator. Dans un tokamak, le champ poloidal est cependant beaucoup plus petit que le champ toroidal.
--Qu xitilise un t,ransforma,t,Rim _Le primaire est parcouru par un courant dépendant du-te»p&r-G^egt le- pktsmar kti-rciême qui joue le rôle de secon-_daire. Dans les applications usuelles-du transformateur, le courant qui circule dans-le-eireuit- primaire varie-sans-eesse- (il^st par exemple sinusoïdal). La . Jorce électrcunotrice.aux l)Qtnes_du.secondaire et, le cas échéant, le courant qui- y ekeule- sont alternatifo^ Dans un tokamak, on souhaite que le cou-__ rant de plasma circule toujours dans le .même sens et soit le plus constant possible. Gela implique qu!en régime-stationnaire le courant primaire aug-__ mente linéairement_Tl est clair que l’on ne peut pas maintenir ce régime
indéfiniment.-Aussi,-la réalisation-d’uii réacteur de fusion fonction-__nant. en régime, stationnaire _passe-t;ÆHe obligatoirement par des méthodes non-inductives de génération du courant de plasma. C’est dans ce cadre que le courant de bootstrap est appelé à jouer un rôle essentiel.
t.S- Le cottFant <ie-bootstrap^
Loeourant de bootstrap est un des effets ctpisés qui font la beauté de la ther- moHynamiqiie du nnn-éqiiilihre Tl est créé^mSn pas par un champ électrique mais bien par le gradient-de-fH-ession. et, dans une moindre mesure, par les gradients de température électronique' et ionique. Le vecteur densité de courant est parallèle au champ magnétique, donc pratiquement toroïdal.
_____T/efficacité relativement modeste Hpsddférpntes méthodes non induc tives de-génération du courant de-plasma.,(“current drive”) ne permet pas
l’extrapolation vers un réacteur dans lerpjeHes décharges seraient purement non inductives, à moins que le courant de bootstrap ne fournisse une fraction
importante du courant de plasma-(typiquement plus de 60 %) (Bécoulet et
al. 1998). ''
Dans UH p>lasma auto-efttretenu, cette fraction élevée de courant de boots- trap seraxréée par le fort gradient .de.pressiôn thermique dû aux particules alpha très énergétiques qui seront produites par les réactions D-T (Bécoulet
et al. 1998). A l’heure actuelle, le coiirant.dediootstrap fournit déjà l’essentiel
du courant de plasma près du bord, là où la longueur car2ictéristique du gra dient de pression (via le gradient de densité) est de l’ordre de l’épaisseur des “trajectoires bananes^”. *
*Eii rauson du gradient luiigitudiiiat de champ qiagiiétique, certaines particules dites ..piégées n’ont .pas accès, ou.n’ont rjueqjartiellement accès, au côté “champ magnétique fort’’, c’est-à-dire au côté intérieur du tore. La “projection” de leur trajectoire dans une section droite du tore ressemble à celle d’une banane, d’où l’appellation trajectoire banane.
1.4 Théorie dtL contre-guide
1.4.1 de-la_théorieL du centre-guide
L’étude des phénomènes de transport dans les plasmas est subdivisées en trois_parties :
La théorie classique étudie le transport des particules, de l’énergie et de lajquantité de mouvement lorsque Je xhamp magnétique est (pratiquement) homogène et que le libre parcours moyen des électrons et des ions est beau coup plus jjetit que les longueurs car^ténètiques associées aux gradients de toutes de toutes les grandeurs macroscopiques, y compris celle associée au charnp électrique.
La théorie néo-classique étudie le transport en présence d’un champ magnétique du type de ceux qui régnent dans un plasma toroïdal. Les différents flux se décomposent en une partie classique, associée à la gyration rapide de la_particule autour de son çeiflm-guide, et une partie néo-classique, associée au mouvement de ce centre-guide. Les,flux néorclassiques dominent, et de loin, les, flux classiques, X’étude-^u mouvement du centre-guide constitue par conséquent un chapitre important de la théorie néo classique en_ général et.rle ce trai^aH en particulier. Elle repose sur l’existence d’un petit paraniètre, • le paramètre de dérive (“drift parame- ,ter’^) e, égal au rayon de Larmor divisé^^par la plus petite des longueurs caractéristiques associées aux gradients des différentes grandeurs macrosco piques.
Aussi bien la théorie classique que la théorie néo-classique considèrent les charnps électrique et niagnétique comme-donnés. Dans le cadre du transport anomal, on essaie de traiter le problème de façon self-consistante, c’est-à-dire que l’on essaie de tenir coinpte de la rétroaction du plasma sur le champ électromagnétique, la densité de charge et le vecteur densité de courant entrant comme sources dans les équations de Maxwell.
1.4.2 Théories hamiltoniennes contre théories non hamiltôn- niehnes-- ^
A l’origine, le mouvement du centre-guide a été étudié par la “méthode de Ja moyenne” qui consiste à_prendre la jnoyenne sur la gyrophase des seconds membres des équations de mouvement des six coordonnées de la particule dans l’espace de_phase. Cette méthodes-présente un inconvénient majeur : son application aux équations de mouvement détruit leur structure hamil tonienne. La première pierre angulaire de la,théorie du transport dans les
plasmas, réquati©& de-Liottyille,-rDe^pe«vait-pas être démontrée et apparais- sait-Gomme une sorte de coastructioB- ad hqc.
Qn_a ejisuite développé une méthode où^ti établit directement l’équation cinétique de dérive en prenant la moyenne sur la gyrophase de l’équation cinétique pour la particule. Cette méthode fait explicitement appel à
l’hy--f—--- 1 (1-10)
où / est la fonction de distribution, /p iinejnaxwellienne et /i une petite cor- reetioa. Dans cette méthode, la détermination des équations de mouvenient du cemtre-guide et l’établissement de l’équation cinétique de dérive sont pra
tiquement indissociables. Iæ concept de centre-guide devient d’ailleurs flou.
■-Si on n’y prend garde,^’estAdiré si xm reriiplace trop tôt les dérivées de
fe par leur valem, on commet unè grave, erreur dans la détermination de la
vitesse de dérive du centre-.guide..(iiintQn_and Wohg 1985).
Les théories hamiltonniermes^ dont il sera abondamment question aux
chapitres .1, 5 et 6 conservent évidenmieDt ^a structure hamiltonienne des équations de mouvement. Elles présentent un autre avantage qui va s’avérer
capital an chapitre 9: les équations de .mouvement du centre-guide sont établies-tout à fait indépeiidamment de l’équation cinétique de dérive et restent d’applicatiop, même si on ne peut pas supposer que la fonction de distribution est approximativement maxwellienne.
1.5 <3^amp -éleetT^ gradient de champ
électrique imperlant
-La théorie néo-elassique-dont il a été-question jusqu’à présent est la théorie
néo-cla.ssiqiie standard T,e champ électrique ÿ est faible et à variation spatio- temporelle lente («i particulier la longueur caractéristique associée à son -gradient est très-grande_par rapport rayon de Larmor).
Néanmoins, ime-des caractéristiques du^mode H (high concernent mode),
est la présence, au bord-du plasma, d’un champ électrique intense et à varia-
tinn spatiale rapide (Ritz p.t al. 1984, 1987 ; Groebner et ai 1992 ; Burrell
et air 1992 ; Moyer et aZ.-1995): -la longueur caractéristique associée au
champ électrique et/ou celle a.ssociée à .son igradient n’est plus très grande par rapport au rayon de Larmor. Il y a donc lieu de remettre la théorie du mouvement du centre-guide sur le métier. Dans le cas où le champ électrique
est intense, cela ne pei^t d’ailleurs se faire que dans un référentiel tournant, afin de faire ‘disparaître’ ce champ électrique intense.
1.6 Plan du travail
(i) Le chapitre 2 constitue un rappel des-éléments des théories classique et néo-classique standard utilisés dans le reste du travail et une introduc tion au courant de-bootstrap.---__
La deuxième partie est consacrée à l’étude du mouvement du centre- guide-en situatiomnon-standairl^-—-.
Au chapitre 3, on présente une extension de la méthode hamiltonienne de Weyssow et Balescu (1986) aujcas où le champ électrique est faible mais à variation spatiale rapide. Cette méthode consiste à imposer directement que les crochets de Poisson des variables du centre-guide
soient indépendantes de la nouvelle gyrophase
<f>.-Le chapitre 4 est consacré, à une-pr^entation unifiée et un examen critique des travaux de Hazeltine et Ware (1978) et Hinton et Wong (1985). Ces auteurs ont utilisé lajiiéthode qui consiste à déterminer l’équation cinétique de dérive en prenant la moyenne sur la gyrophase
ip de l’équation cinétique pour la^-particule et l’ont étendues au cas
d’un champ électrique fort, via “élimination du champ électrique fort” par le changement de variables (possible en mécanique hamiltonienne)
suivant: '
V = v'-uo,
où x' et v' sont le vecteur position et le vecteur vitesse dans-le repère
lié au laboratoire et où
E A B
uo =
—^2----' à la vitesse moyenne de l’espèce considérée.
Ici, Uo|| et Fo sont deux fonctions arbitraires d’ordre .e®, R la distance
constante-SUT, chaque surface magaétique. Un des principaux résultats est-que, àr t-’ordre-déminant, lar-fonction de distribution devient max- ■ wellienne et_UQ purement toroïdale-Bieii que cette méthode aille beau- coup-plus loin que-kb-détermination.,des équations de mouvement du rentre-giiide, on l’a placée ici ponrJa. faison évoquée plus haut, à sa voir que la détermination des équations de mouvement du centre-guide et L’établissement de l’équation cinétique de dérive sont pratiquement indissociables.
Au-ehapitrc S^oH-préseiite ktrméthode développée par Littlejohn (1982)
dans le ras standard et. étendue par Rriizard (1995) au cas d’un champ électrique fort. Cette méthode extrêmement puissante repose sur le ftiil que les équations d’Hamilton dérivent du principe variationnel :
6 ï -x = é / \p{t)j (ki{ty-H{t)] = 0.
Jo JO
Ici^ les ^ et p^- doivent être considérés comme indépendants. Alors
que la méthode_de Weyssow et^Balescu’ne fait appel qu’à des concepts simples-et à quelques-formules d’analyse vectorielle, la méthode de Lit-
tlejnhn et Rri7,ard a recours à plusieurs concepts relativement évolués de-géométrie différentieller En outre,^ Brizard n’a considéré que le cas de variables standard (l’invariant adianatiqiie associé à la coordonnée eyclique-<;/>-est le-‘moment magnétique’), ce qui lui interdit de faire le
lien avec les résultats de Ha.7,eltine.-et’ Ware et de Hinton et Wong. Plus encore, le problème en présence d’un champ électromagnétique dépendant du temps n’est traité que de façon indirecte.
Au chapitre 6, nous- généralisons la. inéthode de Weyssow et BaJescu dans le cas d’iin champ électrique Jntén.se et/ou à variation spatiale rapide. Divers choix de-constantes, sont considérés, ce qui permet soit de faire le Jien .avec les résultats de-Hazeltine et Ware et de Hinton
et Wbng, soit d’annuler la dérive paxallèle d’ordre e et d’obtenir pour
hamiltonien du centre-gnide la. moyonhe sur la gyrophase du hamilto nien de la particule, soit d’obtenir des variables standard et d’annuler la dérive parallèle d’ordre e. En prenant la limite
( lim ^
V W->0y vV$=const
on retrouve en outre les résultats obtenus au chapitre 3, avec un autre choix d’échelles.
Le chapitre 7 est consacré-à i’étude des trajectoires du centre-guide dans un tokamak. Cette étude est basée sur l’existence de trois inva riants, l’énergie totale, le ^Imoment jnagnétique’ modifié et l’invariant toroïdal. La plupart des traitements sont caractérisés par le fait que lesappxQxiinations sont disséminéesdout au long du raisonnement qui conduit à l’équation des trajectoires, de sorte que l’on obtient au tant de critères dejpi^eage que d’auteurs. C’est le grand mérite de Shurygin (1995) et de Shurygin et Dewar (1995) d’avoir postposé les approximations concernant^ at et d’avoir obtenu une équations des trajectoires dont les coefficients ne dépendent de iî et iîo que par
le rapport R/Bq. Ici, J2 est.Ia Jistanee du point considéré à l’axe de
symétrie et Rq la valeur de R au point initial. L’équation des trajec
toires est une équation du second degré dont le discriminant Aqdépend
donc de R]Rq. C’est à ce stade que Shurygin et Dewar ont regroupé les
approximations. Certes, leur, critère de piégeage est de bonne qualité