MPSIA 2012/2013 Programme de colles de math´ematiques, semaine 6 (du lundi 12 au vendredi 16 novembre) lyc´ee Chaptal
G´ eom´ etrie plane
I. Mode de repr´ esentation d’un point
Rep`ere cart´esien, changement de rep`eres entre deux rep`eres orthonorm´es directs.
Coordonn´ees polaires, ´equation polaire d’une droite, d’un cercle passant par l’origine.
II. Deux outils
1. Produit scalaire : d´efinition en coordonn´ees dans la base canonique, propri´et´es g´e- n´erales du produit scalaire, expression dans une base orthonorm´ee quelconque. Ex- pression g´eom´etrique, lien avec l’orthogonalit´e et la colin´earit´e.
2. D´eterminant : d´efinition en coordonn´ees dans la base canonique, propri´et´es g´en´e- rales, expression dans une base orthonorm´ee directe. Expression g´eom´etrique, lien avec l’orthogonalit´e et la colin´earit´e. Aire d’un parall´elogramme, d’un triangle.
III. Applications
Alignement de points, lignes de niveau M 7→ −→u ·−−→
AM etM 7→det(−→u ,−−→
AM). Equations cart´esiennes et param´etriques de droites.
Equations cart´´ esienne et param´etriques d’un cercle. Condition de cocyclicit´e de 4 points, , cercle de diam`etre [AB]. Intersection d’un cercle avec une droite, un cercle.
G´ eom´ etrie de l’espace
I. Modes de repr´ esentation
Syst`emes de coordonn´ees cart´esiennes dans un rep`ere orthonorm´e. Changement de re- p`eres ; expression sous forme de syst`eme lin´eaire et ´ecriture matricielle.
Syst`emes de coordonn´ees cylindriques et sph´eriques.
II. Trois outils
1. Produit scalaire : d´efinition en coordonn´ees dans la base canonique, propri´et´es g´e- n´erales du produit scalaire, expression dans une base orthonorm´ee quelconque. Ex- pression g´eom´etrique, lien avec l’orthogonalit´e et la colin´earit´e.
2. Produit vectoriel : d´efinition en coordonn´ees dans la base canonique, propri´et´es, formule de Lagrange, double produit vectoriel. Calcul dans une base orthonorm´ee quelconque. Expression g´eom´etrique, application `a la colin´earit´e de deux vecteurs.
3. D´eterminant : d´efinition `a l’aide des produits scalaires et vectoriels. Expression en coordonn´ees dans la base canonique, propri´et´es g´en´erales, calcul `a l’aide d’un d´eve- loppement suivant la premi`ere colonne. Expression g´eom´etrique, application : condi- tion pour que 3 vecteurs soient coplanaires.
III. Applications
Equations de droites, de plans. Distance d’un point `´ a une droite, `a un plan.
Perpendiculaire commune `a deux droites.
Aire d’un triangle, d’un parall`elogramme ; volume d’un parall´el´epip`ede.
Sph`eres : ´equation cart´esienne, param´etrage, intersections avec un plan, une droite.
Structure de groupes (cours seul)
D´efinition d’un groupe, notations additives et multiplicatives, calculs.
Sous-groupes, morphismes de groupes, noyau et image.
Le groupe sym´etrique n’a pas ´et´e trait´e encore (mˆeme si l’on sait que(S([[1, n]]),◦)est un groupe).
Nous y reviendrons plus tard.
Questions de cours
Les ´etudiants doivent savoir sans h´esitation comment calculer des ´equations de droites, de plans, etc... dans le plan ou dans l’espace (et le mettre en pratique). Un calcul simple d’´equation de droite, de plan, de distance point-droite, point-plan, etc. peut ˆetre pris comme question de cours.
Q1. Si E est un ensemble et S(E) l’ensemble des permutations de E, montrer que (S(E),◦) est un groupe.
Q2. D´emontrer que pour tout entiera,a.Z={ap|p∈Z}est un sous-groupe de (Z,+).
Q3. [facultatif]D´emontrer que tout sous-groupe de (Z,+) est de la formea.Z, avec a∈Z.
Q4. D´emontrer que le noyau d’un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe de d´epart.
Q5. D´emontrer que l’image d’un morphisme de groupes est un sous-groupe du groupe d’arriv´ee.
Q6. Donner et d´emontrer une condition n´ecessaire sur ker(f) pour qu’un morphisme de groupes soit une injection.
A venir : groupes (exercices), arc param´` etr´es.
