le 17 Avril 2007 UTBM MT12
M´edian
Calculatrices interdites. Le seul document autoris´e est une feuille A4 recto-verso r´ edig´ ee ` a la main
Chaque exercice doit ˆ etre r´ edig´ e sur une feuille diff´ erente
Il sera tenu compte dans la correction de la pr´esentation et de la r´edaction correcte des d´emonstrations.
Exercice 1 (Applications directes du cours) - 6 points
Dans cet exercice, aucune question ne n´ecessite plus de quelques lignes pour ˆ
etre r´esolue. Justifier les r´eponses
1) Donner 4 sous-espaces vectoriels duR-espace vectoriel d´efini par E ={
x y z
∈R3, x=y}
[{
0 0 0
}, E, vect({
1 1 1
}), vect({
1 1 0
}) .]
2) Peut-on construire une application lin´eaire injective mais non surjective ? [oui, f : R−→ R2 avec f(x) =
µ x x
¶ .]
3) Pour quelles valeurs de m ∈ R, les vecteurs V1 =
m m+ 1
m
, V2 =
m 2m+ 2
2m
,
V3 =
0 m+ 1 m+ 1
sont-ils ind´ependants ? (pas plus d’une demi-page en ´ecrivant gros)
[det(
m m 0
m+ 1 2m+ 2 m+ 1 m 2m m+ 1
) = det(
m 0 0
m+ 1 m+ 1 m+ 1 m m m+ 1
)
= det(
m 0 0 m+ 1 m+ 1 0
m m 1
) = m(m+ 1). Donc famille libre ssi m6= 0,−1]
4) En reprenant les vecteurs ci-essus, quelle est la dimension du sous-espace vectoriel F =vect(V1, V2, V3) pour m=−1,0,1.
[Pour m = 1, dim(F) = 3. Pour m = 0, dim(F) = 2. Pour m = −1, dim(F) = 2.]
5) Quelles sont les coordonn´ees de V =
−1
−2 0
dans la base de R3 :
B ={
1 1 1
,
1 2 1
,
0 1 1
}.
[VB =
1
−2 1
]
6) Quelle est la matrice de passage de la base B ci-dessus `a la base canonique C = {
1 0 0
,
0 1 0
,
0 0 1
} (i.e. matrice PBC tel que ∀V ∈R3, VB =PBC.VC).
[Il suffit d’inverser la matrice
1 1 0 1 2 1 1 1 1
ou d’exprimer les vecteurs de la
base canonique en fonction des vecteurs deB. On trouvePBC =
1 −1 1
0 1 −1
−1 0 1
]
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Exercice 2 (NOUVELLE FEUILLE) - 7 points Soit C ={e1, e2, e3}, la base canonique de R3. Soit l’application lin´eaire f :R3 −→R3 d´efinie par f(e1) =
1 0
−1
, f(e2) =
1
−1 0
, f(e3) =
0 1
−1
.
1) Quelle est l’image par f du vecteur
1 2 3
? Et celle de
x y z
∈R3.
[f(
1 2 3
) =
3 1
−4
, f(
x y z
) =
x+y
−y+z
−x−z
.]
2) Quel est le noyau de f? Quelle est sa dimension ? [Ker(f) = vect({
−1 1 1
}), dimKer(f) = 1.]
3) Quel est l’image de f? Quelle est sa dimension ? [Im(f) = vect({
1 0
−1
,
1
−1 0
,
0 1
−1
}) = vect({
1 0
−1
,
1
−1 0
}),
dimIm(f) = 2.]
4) Que peut-on dire deKer(f) +Im(f)? [{
−1 1 1
,
1 0
−1
,
1
−1 0
}´etant une base deR3 (clairement g´en´eratrice+dim), la somme est directe. Ker(f) et Im(f) sont suppl´ementaires.]
Exercice 3 (NOUVELLE FEUILLE) - 8 points
Si une question pose probl`eme, admettre le r´esultat et passer `a la suivante.
Soit l’application
f : R2[X] −→ R2[X]
P(X) 7→ reste de la division euclidienne de X.P(X) par X3−X
RAPPEL : la division euclidienne est la division suivant les puissances d´ecroissantes.
PARTIE I :
1) Quelles sont les images des 3 vecteurs de C ={1, X, X2} par f? [f(1) = X, f(X) = X2, f(X2) = X.]
2) Quelles sont les composantes dans B des 3 images trouv´ees `a la question pr´ec´edente ? [f(1)C =
0 1 0
, f(X)C =
0 0 1
, f(X2)C =
0 1 0
.]
4) En d´eduire la matrice de f dans la base C : Mf,C. [Mf,C =
0 0 0 1 0 1 0 1 0
.]
PARTIE II :
Soit la matrice A=
0 0 0 1 0 1 0 1 0
.
1) Trouver une matriceP ∈M3(R)avec des 1 sur la diagonale telle queP.D=A.P avec D=
0 0 0 0 1 0 0 0 −1
.
[P =
1 0 0 0 1 −1
−1 1 1
.]
2) P est la matrice de passage de C `a une base B = {P(X), Q(X), R(X)} de R2[X].
Quelle est cette base B?
[B = {1−X2, X +X2,−X +X2}.]
2) Exprimer A en fonction de P et D. PuisA2. G´en´eraliser `a An (n ∈N∗).
[A =P DP−1, A2 = P D2P−1, An =P DnP−1.]
PARTIE III :
1) Quelles sont les composantes de Q(X) = −1 + 3.X2 dans B. [Q(X)B =
−1 1 1
.]
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2) D´eduire de ce qui pr´ec`edefn(−1 + 3.X2)(o`ufn d´esigne la compos´eef◦f◦f◦...◦f n fois) avec n = 100 et n = 101. G´en´eraliser `a n quelconque.
[f100(−1 + 3.X2)B =
0 1 1
donc f100(−1 + 3.X2) = 2X2.
f101(−1 + 3.X2)B =
0 1
−1
donc f101(−1 + 3.X2) = 2X. Conclusion : quand la puissance est paire, on trouve 2X2, impaire, on trouve 2X]
