Sup PCSI2 — Devoir 2001/03 ◮ Pour n > 1, notons J

Sup PCSI2 — Devoir 2001/03

◮Pourn>1, notonsJ_n = Z ^e

1

t²¡

ln(t)¢ⁿdt. Q1 Calculez J₁.

Q2 Quel est le sens de variation de la suite (J_n)n>1?

Q3 Montrez que la suite (J_n)n>1 converge ; que pouvez-vous dire, pour l’instant, de sa limiteℓ? Q4 Pour 16x6e, ´etablissez la majoration ln(x)6 x

e. Q5 D´eterminez alors la valeur deℓ.

Q6 Pourn>1, ´etablissez une relation liantJ_n et J_n+1. Q7 Utilisez cette relation pour expliciter J₂ etJ₃.

Q8 Que pouvez-vous dire de la suite de terme g´en´eralnJ_n? Q9 Retrouvez alors le r´esultat de la question 5.

Q10 En utilisant la formule ´etablie `a la question 6, montrez l’existence de deux suites de rationnels (a_n)n>1 et (b_n)n>1 telles queJ_n=a_ne³+b_n pour toutn>1. Vous exprimereza_n+1 et b_n+1 en fonction dea_n etb_n. Q11 Donnez une expression simple deb_n.

Q12 Donnez une expression dea_nfaisant intervenir des factorielles et des puissances de−3, et un seul symboleP.

[Devoir 2001/03] Compos´e le 11 juin 2008