Enoncé D1878 (Diophante) L’amoureux indécis
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A,B,C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [P A], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de [P1B] il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieuP3 de [P2C] il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera. . .
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ?
Pour les plus courageux : Généraliser le problème avec n amours qui habitent les pointsA1, A2, . . . , An du plan.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Renommant P0 le point P de départ, on a vectoriellement pour tout entierk≥0 :
AP3k+1=AP3k/2,BP3k+2=BP3k+1/2,CP3k+3=CP3k+2/2.
On en tireCP3k+3=CB/2 +BA/4 +AP3k/8.
Définissons le pointU du plan par la relation vectorielle 7CU = 4CB+ 2BA+AC= 2CB+CA.
SiCU0=CA/3,CU = 3CU0/7.
AlorsCP3k+3= (7CU +CP3k)/8.
Les pointsP3k forment une suite convergeant vers U car U P3k+3 =U P3k/8.
Avec des coordonnées barycentriques de baseA, B, C,U(1,2,4).
De même les points P3k+1 forment une suite convergeant vers V(4,1,2), et les points P3k+2 forment une suite convergeant vers W(2,4,1).
La trajectoire tend asymptotiquement vers le triangleU V W. Avec n amours, un raisonnement similaire montrerait la conver- gence de la suite Pnk+r à r donné vers un point-limite Lr, bary- centre des pointsAi avec les poids 2(i−1−r) modn.
