L’amoureux indécis
Problème D1878 de Diophante
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de P1B il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P3 de P2C il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera …
Pierre continue indéfniment son errance. A quelle trajectoire estiil condamné asymptotiquement ?
Pour les plus courageux : Généraliser le problème avec n amours, qui habitent les points A1, A2, … , An du plan.
Solution
Le problème est de nature affne. Utilisons des écritures barycentriques.
Pierre erre selon une suite S de points tels que S0 = (P + A)/2 ; S1 = (S0 + B)/2 ; S2 = (S1 + C)/2 ; S3 = (S2 + A)/2 ; S4 = (S3 + B)/2 ; etc.
Pierre se dirige initialement vers A et après trois changements d’avis, Pierre se dirige à nouveau vers A selon la règle Sn+3 = (Sn + 7*Pa)/8 où n vaut 0 modulo 3 et le point Pa vaut (A+ 2*B + 4*C)/7 .
Ainsi, Sn+3 = (Sn + 7*Pa)/8 ; Sn+3 = (Sn + 7*Pb)/8 ; Sn+3 = (Sn + 7*Pc)/8 ; selon que n vaut 0, 1 ou 2 modulo 3.
La convergence de Pierre vers le circuit Pa Pb Pc est très rapide (en 7in)
L’étude du cas n = 4 ouvre la voie à la généralisation.
Appelons Delphine le quatrième amour de Pierre et notons Pa, Pb, Pc, Pd les points (A + 2*B + 4*C + 8*D)/15 et les trois suivants obtenus par permutations circulaires des lettres A, B, C, D. Ils sont disposés de telle sorte que Pb est le milieu de PaA, Pc est le milieu de PbB, etc.
De manière affne, il n’y a qu’une manière de disposer trois points non alignés mais ce n’est plus le cas avec plus de points.
Avec quatre points (ou plus) il y a une infnité de dispositions, dont certaines peuvent surprendre Pierre.
Par exemple : Pd est en A lorsque 13*A = D + 4*B + 8*C
Cette dernière fgure avec 11 amours illustre le cas général (convexe).
