D1878. L'amoureux indécis
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de P1B il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P3 de P2C il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera…
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ?
Pour les plus courageux : Généraliser le problème avec n amours qui habitent les points A1, A2 ,...,An du plan.
Solution
Changeons la notation pour faire mieux apparaître la succession des points homologues.
Soit D1 le point de départ, Pierre part en direction de A.
En E1, milieu de D1A, changement de direction vers B.
En F1, milieu de E1B, changement de direction vers C.
En D2, milieu de F1C, changement de direction vers A.
Le processus continue de manière itérative :
En E2, milieu de D2A, changement de direction vers B.
En F2, milieu de E2B, changement de direction vers C……etc
On a les égalités vectorielles suivantes (la flèche au-dessus de chaque vecteur est ici omise par simplification) : D1E1= 1/2 D1A
D1F1 = D1E1+E1F1 = D1E1+1/2 E1B = D1E1+1/2 (D1B-D1E1) = 1/2 D1E1+1/2 D1B = 1/4 D1A+1/2 D1B
D1D2 = D1F1+F1D2 = D1F1+1/2 F1C = D1F1+1/2 (D1C-D1F1) = 1/2 D1F1+1/2 D1C = 1/8 D1A+1/4 D1B+1/2 D1C Soit D le barycentre des points (A, B, C) pondérés par (1/8, 1/4, 1/2)
On en déduit : D1D2 = 1/8 D1A+1/4 D1B+1/2 D1C = (1/8+1/4+1/2) D1D = 7/8 D1D
Donc D1, D2 et D sont alignés et la distance de D2 à D est 8 fois plus petite qu’entre D1 et D.
Donc Dn converge très rapidement vers D
Le même raisonnement est à faire pour la série de points En et Fn. Ce qui permet d’écrire : Asymptotiquement Pierre parcourt le triangle DEF où
D est le barycentre des points (A, B, C) pondérés par (1/8, 1/4, 1/2) E est le barycentre des points (B, C, A) pondérés par (1/8, 1/4, 1/2) F est le barycentre des points (C, A, B) pondérés par (1/8, 1/4, 1/2)
Généralisation avec les points A1, A2 ,...,An du plan.
Pierre part de D1,1 en direction du premier point A1.
Le premier indice précise qu’il part de ce point pour viser le premier point de la série, le second indice précise que c’est la première fois où il fait.
Ensuite il visera successivement A1, A2 ,...,An et ainsi de suite.
Ainsi sont définis les points :
D1,1 (1ére fois où il vise A1), D2,1 (1ére fois où il vise A2)….Dn,1 (1ére fois où il vise An), D1,2 (2ème fois où il vise A1), D2,2 (2ème fois où il vise A2)….Dn,2 (2éme fois où il vise An)…..
On montre facilement par récurrence que (voir le principe détaillé page précédente) : D1,1D1,2 = 1/2n D1,1A1 + 1/2n-1 D1,1A2 +…….+ 1/22 D1,1An-1 + 1/2 D1,1An
Soit D1 le barycentre des points (A1, A2 ,...,An) pondérés par (1/2n, 1/2n-1,……, 1/22, 1/2)
On en déduit : D1,1D1,2 = 1/2n D1,1A1 + 1/2n-1 D1,1A2 +…….+ 1/22 D1,1An-1 + 1/2 D1,1An = 1/2n (1+2+22 + +2n-1) D1,1D1
D1,1D1,2 = 2𝑛−1
2𝑛 D1,1D1
Donc D1,1, D1,2 et D1 sont alignés et la distance de D1,2 à D1 est 2n fois plus petite qu’entre D1,1 et D1. Donc D1,n converge très rapidement vers D1
Même raisonnement pour les Di,j qui convergent vers Dj
Asymptotiquement Pierre parcourt un polygone de sommets Dj (j de 1 à n)
où Dj est le barycentre des n points (Aj, Aj+1,……, Aj-2, Aj-1) pondérés par (1/2n, 1/2n-1, …….., 1/22, 1/2)
Exemple avec n=4
A chaque itération Dj,n+1 est 16 fois plus proche que Dj,n de son point asymptote Dj
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![Considérons deux points du plan A et B. La translation de A vers B est la trans- formation qui, à tout point C du plan, associe le point D tel que [AD] et [BC]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)