Problème proposé par Pierre Renfer
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de P1B il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P3 de P2C il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera…
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ? Pour les plus courageux :
Généraliser le problème avec n amours qui habitent les points A1, A2, ..., An du plan.
Soient les trois points D, E, F, tels que D soit milieu de AF, E milieu de BD et F milieu de CE. On a l’égalité vectorielle BD=2BE soit
BA+AD=2(BC+CE)=2BC+4CF=2BC+4CA+4AF=2BA+2CA+8AD ou
AD=(AB+2AC)/7 ; de même BE=(BC+2BA)/7 et CF=(CA+2CB)/7, qui définissent les points D, E, F. De plus, dans cette configuration classique, AD coupe BC aux 2/3, de même que BE pour CA et CF pour AB.
Par ailleurs on a les relations entre les longueurs P3F=P2E/2=P1D/4=PF/8 : les points P3i convergent vers F, P3i+1 vers D et P3i+2 vers E.
La trajectoire va donc converger vers le triangle DEF.
Le calcul ci-dessus se généralise simplement à n points A1...An, la trajectoire asymptotique étant alors le polygone D1...Dn défini par les relations vectorielles : A1D1=(A1A2+2A1A3+...+2n-2A1An-1)/(2n-1) ,...
