D1846 - En lignes droites …pour le nombre π [*** à la main]
Que j’aime à faire connaître ce nombre utile aux sages….
Alice (A), Benjamin (B) et Cunégonde (C) habitent le long du chemin des Matheux selon le plan ci-après
Trois routes R₁,R₂ et R₃ des Platanes, des Séquoïas et des Merisiers se rencontrent au carrefour H du Hêtre pourpre tandis que la route R₂ et le chemin des Matheux sont perpendiculaires au carrefour de Leibniz (L).
D’un pas constant Alice parcourt la distance AC en 5 minutes et la distance AL + LH en 9 minutes. Cunégonde du même pas constant parcourt la distance CL + LH en 8 minutes.
A vol d’oiseau, les points A,B et C sont respectivement à égale distance des droites (R1,R2) , des droites (R1,R3) et enfin des droites (R2,R3).
Les trois amis se promènent en couple : (A&C) ou (A&B) ou (B&C) le long des côtés des trois triangles HAC ou HAB ou HBC dont les sommets sont le point H et leurs maisons respectives.
Déterminer le couple qui lors de sa promenade est en mesure de calculer le plus rapidement les neuf premières décimales de π par sommation de fractions rationnelles positives et négatives dont on donnera la liste.
Solution
Ce problème peut être considéré comme une curiosité qui associe des rudiments de géométrie et de trigonométrie élémentaires à la formule du développement en série de l’arc tangente :
Cette expression donne pour x = 1 la formule célèbre de la quadrature arithmétique due à Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) : arctan(1) = 45° = π/4 = 1 ‒ 1/3 + 1/5 ‒ 1/7 + 1/9 – 1/11 etc….
On désigne respectivement par α, β et γ les angles LHA,LHB etLHC et par P et Q les points d’intersection du chemin des Matheux avec R₁ et R₃..
Les temps mis par Alice et Cunégonde pour parcourir à pas constant les distances AL+LH, AL+ LC et CL+ LH permettent de calculer les tangentes des angles α et γ : (AL + LH)/9 = (AL+ LC)/5 = (CL + LH)/8.
D’où LA = LH/2 et LC = LH/3 tan(α) = 1/2 et tan(γ) = 1/3 soit α = arctan(1/2) et γ = arctan(1/3)
La maison d’Alice est à vol d’oiseau à égale distance des routes R₁ et R₂. La droite HA est bissectrice de l’angle
PHL. De la même manière le droite HC est bissectrice de l’angle QHL. Les routes R₁ et R₃ sont alors perpendiculaires et la maison de Benjamin est située sur la bissectrice de l’angle droit en H formé par ces deux routes.
On a PHQ = 90°. D’où PHB = QHB = 45° avec le point B situé entre A et L.
Or PHB = PHL ‒ LHB = 2LHA ‒ LHB = 2α ‒ β et QHB = QHL+ LHB = 2LHC + LHB = 2γ + β.
On en déduit tan(2α ‒ β) = 1 = (tan(2α) ‒ tan(β))/(1 + tan(2α) * tan(β))
Comme tan(2α) = 2tan(α)/(1 ‒ tan²(α)) = 4/3, on a 4/3 ‒ tan(β) = 1 + 4tan(β)/3 tan(β) = 1/7 D’où LB/LH = 1/7 et β = arctan(1/7).
Quand ils vont de A à C le long du côté AC du triangle HAC, Alice et Cunégonde voient l’angle AHC = α + γ.
Quand ils vont de A à B le long du côté AB du triangle HAB, Alice et Benjamin voient l’angle AHB = α ‒ β.
Quand ils vont de B à C le long du côté BC du triangle HBC, Benjamin et Cunégonde voient l’angle
BHC = β + γ.
On suppose que chacun des trois amis connait la relation de l’angle que fait la droite qui relie sa maison au carrefour de l’Hêtre avec la route des Séquoïas à savoir α = arctan(1/2), β = arctan(1/7) et γ = arctan(1/3) dont les premiers termes du développement selon la formule de Leibniz sont donnés ci-après :
Couple Alice et Cunégonde
tan(AHC) = tan(α + γ) = (tan(α) + tan(γ)) / (1 ‒ tan(α).tan(γ)) = [5/6] / [15/6] = 1 soit α + γ = 45° = π/4.
Alice et Cunégonde qui connaissent respectivement α et γ peuvent calculer les premières décimales de π à partir de l’expression E₁ : 4arctan(1/2) + 4arc(tang(1/3) = π .
Couple Alice et Benjamin
L’un et l’autre voient l’angle α ‒ β tels que tan(α‒ β) = (tan(α) ‒ tan(β))/(1+ tan(α).tan(β)) = [5/14]/[15/14] = 1/3 soit α ‒ β = γ. Comme 2α ‒ β = α + (a ‒ β) = α + γ = 45°, ils peuvent calculer les premières décimales de π à partir de l’expression E₂ : 8arctan(1/2) ‒ 4arc(tang(1/7) = π .
Couple Benjamin et Cunégonde
L’un et l’autre voient l’angle β + γ = α. Comme β + 2γ = (β + γ) + γ = α + γ = 45° , ils peuvent calculer les premières décimales de π à partir de l’expression E₃ : 4arctan(1/7) + 8arc(tang(1/3) = π .
D’où le tableau des premières décimales de π obtenues à l’aide des trois expressions E₁,E₂ et E₃.
C’est logiquement le couple Benjamin-Cunégonde qui obtient le plus rapidement l’estimation de π contenant huit décimales significatives avec des fractions dont les dénominateurs comportent des puissances de 3 et de 7 et décroissent beaucoup plus vite que celles dont les dénominateurs comportent des puissances de 2 et de 3 ou de 2 et de 7.
13 fractions suffisent dont 8 avec les fractions contenant des puissances de 3 et 5 des puissances de 7 et permettent d’obtenir : 3,14159265…. c'est-à-dire : que j’aime à faire connaître ce nombre utile…..
Pour un numérateur commun égal à 8, les treize dénominateurs sont égaux à 3,14, ‒ 81, 1215, ‒ 2058, ‒15309, 168070, 177147, ‒1948617, ‒11529602, 20726199,‒ 215233605, 726364926.
