D1878. L'amoureux indécis MB
Problème proposé par Pierre Renfer
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de P1B il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P3 de P2C il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera…
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ? Pour les plus courageux : Généraliser le problème avec n amours qui habitent les points A1, A2 ,...,An du plan.
Notations Barycentriques. Pierre part du point D.
Les positions où il change d'avis sont d'abord :
D1 =(A+D)/2, D2 =(A+2B+d)/4, D3 =(A+2B+4C+D)/8
D6 s'obtient en remplaçant D par D3 dans D3 d'où D6 = ((1+8)(A+2B+4C)+D) / 8² D9 = ((1+8+64)(A+2B+4C)+D) / 83 = (((83−1)
7 )(A+2B+4C)+D) / 83. D3k = (((8k−1)
7 )(A+2B+4C)+D)/8k .
Pour k infini, D3k tend vers (A+2B+4C)/7, D3k+1 tend vers (4A+B+2C)/7, et D3k+2 tend vers (2A+4B+C)/7,
Généralisation :avec n amours qui habitent les points A1, A2 ,...,An du plan.
La trajectoire de Pierre évolue vers un polygone dont les n sommets sont : (A1+2A2+4A3+...+2n – 1An)/ (2n – 1)
(A2+2A3+4A4+...+2n – 1A1)/ (2n – 1)
(A3+2A4+4A5+...+2n – 1A2)/ (2n – 1) etc … (An+2A1+4A2+...+2n – 1An-1)/ (2n – 1)
Page suivante exemple avec n = 5 :
la trajectoire limite est parcourue dans le sens A', B', C', D', E', A' etc..
