D1878. L’amoureux indécis
Problème proposé par Pierre Renfer
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P1 du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P2 de P1B il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P3 de P2C il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera…
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ? Pour les plus courageux : Généraliser le problème avec n amours qui habitent les points A1, A2 ,...,An du plan.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On fixe peu importe où dans le plan du triangle une origine ; et on identifie tout point au vecteur . En particulier les écritures :
ont bien un sens, en termes de sommes et multiples de vecteurs : ces vecteurs sont des combinaisons
convexes des vecteurs donc ils correspondent à points du triangle ; points qui, bien entendu, ne dépendent pas du choix de l’origine . On va montrer que :
La trajectoire approche asymptotiquement les côtés du triangle
Remarque 1 Dans la littérature scientifique (voir par exemple ici) on dit que les triplets (1, 2, 4), (4, 1, 2) et sont les coordonnées barycentriques des points A’, B’, C’.
Remarque 2 Lorsqu’on travaille avec n points, on définit les remplaçant le dénominateur 7 par ; quant aux coefficients, par exemple pour (les autres s’obtiennent par rotation) on remplacera le triplet par (1, 2, …, ) ; et on parvient à :
La trajectoire approche asymptotiquement les côtés du polygone .
La démonstration de la propriété (ainsi que celle de sa généralisation) est presque immédiate. A partir du point et se dirigeant vers Alice, Pierre change d’avis se dirigeant vers Béatrice lorsqu’il arrive à (point- milieu de ), puis lorsqu’il arrive à (point-milieu de ), puis lorsqu’il arrive à (point-milieu de
); et ainsi de suite, changeant d’avis aux points définis par :
Un calcul immédiat montre que ce qui, grâce à nos définitions, s’écrit
; en particulier, indépendamment du point de départ P, la sous-suite des points d’indice multiple de 3 (ce sont les points où Pierre cesse d’aller vers Alice et se dirige vers Béatrice) tend vers . De même, la sous-suite des points où Pierre cesse d’aller vers Béatrice (respectivement vers Cécile) tend vers
(respectivement vers ).
On en tire que les segments et convergent respectivement vers et ; ce qui termine la démonstration de .
Remarques Pour la construction d’un des points on choisira comme origine le centre du cercle circonscrit à ; et on fixera l’unité de mesure de telle façon que le rayon circonscrit ait mesure 7. Traçant aussi les cercles centrés en de rayons 4, 2 et 1, la construction de et est immédiate ; dans la figure, qui montre la construction de , on a tracé en rouge le vecteur de flèche et en bleu le vecteur de flèche . La construction de et est semblable ; et toutefois on a un procédé plus simple, basé sur le fait que, si Pierre commence son trajet partant de , on aura . A trajectoire se répète inaltérée, donc on a
; en d’autres termes, est le milieu de et est le milieu de .
Dans la figure suivante on a détaillé le cas d’un quadrilatère non convexe, choisissant comme origine le croisement des diagonales ; le résultat ici est un quadrilatère croisé.
