D1878 – L’amoureux indécis [**** à la main]
Problème proposé par Pierre Renfer
Pierre a trois amours, Alice, Béatrice et Cécile, qui habitent aux trois sommets A, B, C d’un triangle du plan.
Pierre part d’un point P du plan et se dirige vers Alice, mais au milieu P
1du segment [PA], il change d’avis et se dirige vers Béatrice, mais au milieu P
2de [P B]
1il change encore d’avis et se dirige vers Cécile, puis au milieu P
3de [P C]
2il est pris de remords et retourne vers Alice, et cetera…
Pierre continue indéfiniment son errance. A quelle trajectoire est-il condamné asymptotiquement ? Pour les plus courageux :
Généraliser le problème avec n amours qui habitent les points A , A , ,A
1 2 ndu plan.
Solution proposée par Jean Nicot
Un mouvement de P vers A le rapproche de A, puis de B, puis de C. Ainsi, quelle que soit la position initiale de P, les points successifs arriveront à l’intérieur du triangle ABC. Ils convergent vers trois points décrits cycliquement pour lesquels sont respectées les conditions du trajet. La position de ces 3 points dépend du premier sommet visé et du sens de parcours c’est-à-dire du second sommet visé.
est le milieu de A
est le milieu de B
est le milieu de C
Pour P situé en , P1 est en , P2 est en et P3 est en et ce cycle peut se répéter.
Connaissant les coordonnées de A (a a’) de B (b b’) de C (c c’) et notant P(x y) on obtient aisément les coordonnées de P1 (a+x)/2 (a’+y)/2), de P2 (a+x+2b)/4 (a’+y+2b’)/4) et de
P3 ( (a+x+2b+4c)/8 ((a’+y+2b’+4c’)/8 )
Si P est en P3, on a les coordonnées de en identifiant P3 et P ((a+2b+4c)/7 (a’+2b’+4c’)/
P1 est en ab+8ca’b’+8c’
P2 est en ab+16ca’b’+16c’
