Transfert, col, inversion de Lagrange : ouvrir les boîtes noires

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Transfert, col, inversion de Lagrange : ouvrir les boîtes noires

Nicolas Pouyanne

To cite this version:

Nicolas Pouyanne. Transfert, col, inversion de Lagrange : ouvrir les boîtes noires. 2014. �hal-02504855�

ALEA 2014

Luminy, 17 au 21 mars 2014 Nicolas Pouyanne

Transfert, col, inversion de Lagrange : ouvrir les boˆıtes noires

— Notes de cours —

Petit avant-propos

Il ne s’agit pas v´ eritablement d’un cours d’analyse complexe, ni d’analyse combinatoire. La commande des organisatrices d’ALEA est ` a peu pr` es concentr´ ee dans le titre. Bien que la communaut´ e autour de ce groupe augmente et mˆ urisse, les plus jeunes y auront toujours le mˆ eme ˆ age.

Les fonctions holomorphes font l’objet d’un enseignement standard dans le cursus universitaire des licences de math´ ematiques. Par ailleurs, l’analyse complexe est la racine d’un gros arbre dans le paysage des math´ ematiques contemporaines. Enfin, l’ombre du livre incontournable – “Le Livre” – Analytic combinatorics de Philippe Flajolet et Robert Sedgewick plane, ´ evidemment. Entre ces trois affaires, il fallait tenter de trouver une voie pour un discours ´ el´ ementaire sur le sujet et r´ esister ` a la tentation de tout dire tout en en disant assez.

Le parti pris est le suivant : dresser un tour d’horizon sur les fondements des fonctions holomorphes, ou plus exactement sur celles de leurs propri´ et´ es qui interviennent le plus souvent dans les trois outils de l’analyse combinatoire cit´ es dans le titre. On ne trouvera dans ces notes rien d’exhaustif sur les fonctions holomorphes, ni du cˆ ot´ e des ´ enonc´ es, ni du cˆ ot´ e des preuves. La litt´ erature est riche en ouvrages qui font le tour de la th´ eorie, on s’y r´ ef´ erera pour une vision plus compl` ete et d´ etaill´ ee. De mˆ eme, aucun des exemples donn´ es n’est original. Ils sont l` a pour illustrer, parfois na¨ıvement.

Table des mati` eres

1 Singularit´ es des fonctions holomorphes 3

1.1 Fonctions holomorphes . . . . 3

1.2 Relever l’exponentielle etc . . . . 5

1.3 Logarithme, ´ echelle log-puissance . . . . 6

1.4 Prolongement analytique, singularit´ es . . . . 9

2 Th´ eor` emes de transfert 12 2.1 Asymptotique des coefficients de l’´ echelle log-puissance . . . . 13

2.2 L’hypoth` ese camembert . . . . 15

2.3 Transfert, une seule singularit´ e dominante . . . . 16

2.4 Plusieurs singularit´ es dominantes . . . . 18

2.5 Autres conditions suffisantes de transfert . . . . 19

3 Davantage sur les Cauchysseries 19 3.1 Indice . . . . 19

3.2 Formule des r´ esidus . . . . 20

3.3 Nombre de z´ eros (et de pˆ oles) . . . . 21

4 Sur la m´ ethode d’inversion de Lagrange 21

5 M´ ethode de Laplace, m´ ethode du col 23 5.1 M´ ethode de Laplace, cas r´ eel . . . . 23 5.2 M´ ethode de Laplace, int´ egrales curvilignes . . . . 25 5.3 Cols en combinatoire analytique . . . . 30

6 Exercices 31

7 Une toute petite petite biblio 32

1 Singularit´ es des fonctions holomorphes

1.1 Fonctions holomorphes

Les quatre propri´ et´ es ´ equivalentes ´ enonc´ ees ci-dessous caract´ erisent les fonctions appel´ ees holomorphes (dites aussi analytiques complexes). Soient U un ouvert de C et f : U −→ C une fonction.

Premier point de vue : la d´ erivation complexe

On dit que f est holomorphe sur U lorsque, pour tout z ∈ U ,

h→0, h6=0

lim

f(z + h) − f (z) h

existe. On note alors cette limite f

⁰

(z). Les r` egles de d´ erivation sont celles que chacun connaˆıt (somme, produit, composition).

Commentaires sur la limite dans le plan complexe. Une autre mani` ere de dire la mˆ eme chose : f est tangente en tout point ` a une similitude directe : lorsque h est au voisinage de 0,

f (z + h) = a + bh + o (h)

o` u a et b sont complexes. Encore une autre formulation ´ equivalente : au voisinage de tout point, f conserve les angles (orient´ es) infinit´ esimaux. Par exemple, une fonction non constante ` a valeur dans R (ou dans une droite, ou dans une courbe rectifiable) n’a aucune chance d’ˆ etre holomorphe ; c’est le cas des fonctions <, ou = ou encore | · |.

Exemples : les fonctions d´ eveloppables en s´ erie enti` ere, ` a commencer par les fractions rationnelles et l’exponentielle. Les dessins ci-dessous repr´ esentent l’image d’un carr´ e grillag´ e par les fonctions indiqu´ ees. On y voit la pr´ eservation de l’angle infinit´ esimal.

z 7→ z

²

z 7→ 1

2z

²

z 7→ e

^z/10

z 7→ z

140

2

e

^z/140

Deuxi` eme point de vue : les ´ equations de Cauchy-Riemann

On note x et y les parties r´ eelle et imaginaire de la variable courante z = x + iy. On note aussi P et Q les fonctions r´ eelles d´ efinies par f(x + iy) = P (x, y) + iQ(x, y). On dit que f est holomorphe sur U lorsque (x, y) 7−→ f (x + iy) est diff´ erentiable en tout point (x, y) ∈ R

²

tel que x + iy ∈ U et lorsque les d´ eriv´ ees partielles de P et Q v´ erifient en tout point les ´ equations de Cauchy-Riemann :

∀z ∈ U, ∂Q

∂y (z) = ∂P

∂x (z) et ∂P

∂y (z) = − ∂Q

∂x (z) .

Le lien entre la diff´ erentiabilit´ e en deux variables r´ eelles et la d´ erivabilit´ e en la variable complexe se fait via les formules

^∂f(x+iy)_∂x

= f

⁰

(x + iy) = −i

^∂f(x+iy)_∂y

. On reconnaˆıt dans la jacobienne

∂P/∂x ∂P/∂y

∂Q/∂x ∂Q/∂y

= ∂P/∂x −∂Q/∂x

∂Q/∂x ∂P/∂x

la matrice d’une similitude directe.

Troisi` eme point de vue : la formule de Cauchy

On dit que f est holomorphe sur U lorsque pour tout z ∈ U et pour tout disque ferm´ e D centr´ e en z et contenu dans U ,

f (z) = 1 2iπ

I

∂D

f (ζ ) ζ − z dζ o` u ∂D d´ esigne le bord de D parcouru une fois dans le sens direct.

Si γ : [a, b] → U est un arc de classe C

¹

par morceaux, l’int´ egrale curviligne de f le long de γ est d´ efinie par R

γ

f(ζ)dζ = R

b

a

f (γ(t))γ

⁰

(t)dt. Elle ne change pas si on remplace γ par γ ◦ ϕ o` u ϕ est croissante, bijective et de classe C

¹

(changement de param` etre).

La formule de Cauchy est une star absolue. On fait tout avec. On peut remplacer le bord du disque par n’importe quel arc simple et direct, ` a condition qu’on puisse le d´ eformer continˆ ument sur {z} tout en restant dans U (ce sont les “trous” dans U qui peuvent faire obstacle). On peut aussi le remplacer par le bord d’un disque ` a l’int´ erieur duquel f est holomorphe, et auquel f se prolonge par continuit´ e.

En particulier, la formule de Cauchy montre que lorsqu’on connaˆıt une fonction holomorphe le long d’un lacet, on la connaˆıt dans la zone qu’il d´ elimite.

Le passage de la d´ erivation complexe ` a la formule de Cauchy est une belle histoire.

¹

On peut commencer par montrer que si une fonction continue est la d´ eriv´ ee d’une fonction d´ erivable (au sens complexe), son int´ egrale est nulle le long de n’importe quel lacet (c’est le th´ eor` eme fondamental de l’analyse).

2

Ensuite, on peut montrer que l’int´ egrale le long de n’importe quel triangle d’une fonction d´ erivable ϕ est nulle : on d´ ecoupe le triangle en ses quatre sous-triangles des milieux des cˆ ot´ es. Les int´ egrales curvilignes sur les triangles s’ajoutent, si on les oriente bien. Du coup, l’int´ egrale le long du grand triangle (enfin, son module) est inf´ erieure ` a 4 fois la plus grande des int´ egrales le long des sous-triangles. On d´ ecoupe ` a son tour un des sous-triangles o` u l’int´ egrale curviligne est maximale, et encore, et encore. Cette suite de triangles emboˆıt´ es converge vers un point {`} o` u ϕ a un d´ eveloppement limit´ e d’ordre 1. Comme les fonctions affines ont des primitives holomorphes, l’int´ egrale de ϕ sur le n

^i`eme

tout petit triangle est celle du reste du d´ eveloppement limit´ e en `, que l’on majore par le n

^i`eme

terme d’une suite g´ eom´ etrique convergente. Voil` a pourquoi l’int´ egrale de ϕ le long du grand triangle est nulle. On peut mˆ eme supposer seulement que ϕ est continue sur l’ouvert et d´ erivable sauf peut-ˆ etre en un point p en s´ eparant l’int´ egrale triangulaire en trois int´ egrales le long de triangles dont l’un des sommets est p.

³

Apr` es cela, on peut

´ etablir que si une fonction ϕ est d´ erivable sur un disque ouvert sauf peut-ˆ etre en un point, elle admet une primitive sur le disque. Si c est un point du disque, Φ(z) = R

[c,z]

f (ζ)dζ d´ efinit une telle primitive, puisque la nullit´ e de l’int´ egrale sur les triangles montre que Φ(z + h) − Φ(z) est l’int´ egrale de ϕ sur le segment [z, z + h].

4

Du coup, si ϕ est continue sur un disque ouvert et si elle y est d´ erivable sauf peut-ˆ etre en un point, son int´ egrale le long de n’importe quel lacet inclus dans le disque est nulle.

5

Pour ´ etablir la formule de Cauchy telle qu’elle est ´ enonc´ ee, on prend un z et on applique ce qui pr´ ec` ede

`

a la fonction ϕ d´ efinie par ϕ(z) = f

⁰

(z) et ϕ(ζ) =

^f(ζ)−f(z)_ζ−z

si ζ 6= z : ´ ecrire que l’int´ egrale de ϕ le long d’un cercle simple et direct centr´ e en z est nulle am` ene ` a la formule

f (z) I

∂D

dζ z − ζ =

I

∂D

f (ζ)dζ z − ζ qui permet de conclure modulo le modeste mais c´ el` ebre calcul H

∂D dζ z−ζ

= R

2π

0

r

⁻¹

e

^−iθ

ire

^iθ

dθ = 2iπ.

Quatri` eme point de vue : le d´ eveloppement en s´ erie enti` ere (DSE)

On dit que f est holomorphe sur U lorsque pour tout z ∈ U , la fonction f est d´ eveloppable en s´ erie enti` ere en z, ce qui signifie que f ´ egale sa s´ erie de Taylor en z sur un voisinage de z : pour tout z ∈ U , il existe un disque D centr´ e en z tel que

∀ζ ∈ D, f (ζ) = X

n≥0

f

⁽ⁿ⁾

(z)

n! (ζ − z)

ⁿ

.

Passer de la formule de Cauchy au d´ eveloppement en s´ erie enti` ere est une juste une interversion d’un signe somme et d’une int´ egrale. En particulier, venu tout droit de la formule de Cauchy, le coefficient d’ordre n du d´ eveloppement en s´ erie de f en z s’´ ecrit

f

⁽ⁿ⁾

(z) n! = 1

2iπ I

∂D

f (ζ) (ζ − z)

ⁿ⁺¹

dζ

si D contient z et est inclus dans U (notations du troisi` eme point de vue). A noter en passant : il suffit qu’une fonction soit d´ erivable une fois au sens complexe pour qu’elle le soit ` a tout ordre ; en ce sens (et sous bien d’autres aspects aussi), la d´ erivation au sens complexe diff` ere radicalement de la d´ erivation au sens r´ eel.

1.2 Relever l’exponentielle etc

Si f : U → C est holomorphe et si γ : [0, 1] → U est un lacet (c’est-` a-dire un arc pour lequel γ(0) = γ(1)), chacune des deux conditions (i) ou (ii) ci-dessous suffisent ` a ce que

I

γ

f = 0 :

(i) f admet une primitive holomorphe, c’est-` a-dire qu’il existe g, holomorphe sur U , telle que g

⁰

= f ; (ii) γ se d´ eforme continˆ ument dans U sur un point a ∈ U .

La condition (ii) signifie qu’il existe une application continue F : [0, 1]

²

→ U telle que F (·, 0) = γ, F(·, 1) ≡ a et tous les F (·, t) sont des lacets ; on dit dans le jargon que le lacet est homotope ` a z´ ero.

Le (i) implique par exemple que R

γ

z

ⁿ

dz = 0 pour tout entier relatif n 6= −1 et pour tout lacet γ du plan (qui fait autant de fois qu’on veut le tour de l’origine dans n’importe quel sens). On a vu en revanche que si γ est un cercle centr´ e en 0 parcouru une fois dans le sens direct, R

γ

z

⁻¹

dz = 2iπ.

Le (ii) se paraphrase en disant que si deux arcs γ et γ

⁰

sont homotopes dans U , i.e. si on peut d´ eformer continˆ ument l’un sur l’autre en restant dans U tout en gardant une origine et une extr´ emit´ e communes, alors R

γ

f = R

γ⁰

f .

On arrive ` a la formalisation math´ ematique d’un ouvert “sans trou”. On appelle cela la simple con- nexit´ e. En voici trois points de vue ´ equivalents (on pourrait en ajouter encore). Soit U un ouvert connexe du plan – la connexit´ e est l` a pour ´ eviter les canulars des fonctions non constantes ` a d´ eriv´ ees nulles et simplifier les ´ enonc´ es.

(1) Rabougrir les chemins

U est simplement connexe lorsque tous ses lacets y sont homotopes ` a z´ ero.

(2) Existence de primitives

U est simplement connexe lorsque toute fonction holomorphe sur U admet une primitive holomorphe sur U .

Si b ∈ U est n’importe quel point (b comme “point base”), si f est une fonction holomorphe dans U, alors la fonction z 7→ R

γb→z

f est une primitive holomorphe de f . La notation γ

_b→z

d´ esigne ici un arc d’origine b et d’extr´ emit´ e z. Ce qui compte ici, c’est que le fait que U soit simplement connexe rend l’int´ egrale ind´ ependante du choix de l’arc joignant b ` a z, puisque l’int´ egrale de b ` a z et retour en b le long du lacet compos´ e de deux arcs est nulle.

(3) Rel` evements par l’exponentielle

U est simplement connexe lorsque pour toute fonction f holomorphe sur U qui ne s’annule pas, il

existe g holomorphe sur U telle que f = exp(g).

Partant de (2), prendre pour g la primitive de la fonction holomorphe f

⁰

/f qui rende ´ egale ` a 1 la fonction localement constante f e

^−g

(sa d´ eriv´ ee est nulle).

Boucler la boucle et montrer que lorsque les fonctions non nulles se rel` event par l’exponentielle, alors l’ouvert est simplement connexe revient essentiellement ` a d´ emontrer le magnifique et tr` es c´ el` ebre th´ eor` eme de repr´ esentation conforme de Riemann. Ce dernier affirme que tout ouvert connexe et simplement connexe du plan distinct du plan tout entier est conforme au disque unit´ e, ce qui signifie qu’il est en bijection bi-holomorphe avec le dit disque. Les preuves classiques du th´ eor` eme de repr´ esentation conforme sont constructives et ´ eblouissantes. Voir par exemple [Rudin].

1.3 Logarithme, ´ echelle log-puissance On en sait assez pour d´ efinir les fonctions

1 −

^z_ζ

α

h

1z ζ

log

1 1−^z_ζ

i

β

qui constituent l’´ echelle de com- paraison dans les th´ eor` emes de transfert.

Le premier geste consiste ` a d´ efinir un logarithme. Obstacle standard : trouver une fonction L continue dans C \ {0} et qui v´ erifie exp(L(z)) = z pour tout z 6= 0 est d´ esesp´ er´ e : cela reviendrait ` a trouver une d´ etermination continue de l’argument sur C \ {0}, chose impossible puisque tourner une fois autour de l’origine fait pr´ ecis´ ement sauter l’argument de 2π. En revanche, si on ˆ ote au plan une demi-droite δ partant de l’origine, on obtient un ouvert simplement connexe sur lequel la fonction z 7→ z ne s’annule pas. Cette derni` ere se rel` eve donc par l’exponentielle : on a d´ efini un logarithme sur C \ δ (tout un tas, en fait, en ajoutant des multiples de 2iπ ` a n’importe lequel d’entre eux). Parmi toutes ces d´ eterminations continues du logarithme, on en choisit une et on s’y tient : on note log l’unique fonction holomorphe sur C \] − ∞, 0] qui v´ erifie log(1) = 0 et exp(log z) = z pour tout nombre complexe z qui ne soit pas un nombre r´ eel n´ egatif ou nul. Elle prolonge le logarithme n´ ep´ erien r´ eel.

On l’affuble du pompeux nom de d´ etermination principale du logarithme. Elle se d´ efinit aussi par la formule log z = log |z| + i Arg(z) o` u Arg(z) ∈] − π, π[ d´ esigne l’argument principal de z. L’image du plan coup´ e C \] − ∞, 0] par le logarithme est la bande horizontale R + i] − π, π[.

Dans les surfaces dessin´ ees ci-dessous, l’axe r´ eel positif est orient´ e ` a l’est-sud-est. Il y a une foule de chausse-trapes classiques ` a ´ eviter. Trois petits exemples sans commentaire : log exp(5iπ/2) = iπ/2, log(−1 + i) + log i = log [(−1 + i) × (i)] + 2iπ ou encore log(1 + i)

⁵

= 5 log(1 + i) − 2iπ.

−→ ^log

| log z| < (log z) = (log z)

Au lieu de couper le plan pour fabrique une brave fonction, on pourrait ne pas renoncer ` a toutes les valeurs possibles d’un mˆ eme logarithme. On obtiendrait une fonction multivalu´ ee dans une surface en forme de vis d’Archim` ede sur laquelle on d´ efinirait – localement puis globalement en recollant les morceaux – une notion de fonction holomorphe. On acc´ ederait ainsi au splendide royaume des surfaces de Riemann.

Greffer ` a cet endroit des consid´ erations plus ou moins avanc´ ees sur le sujet est une tentation. On se force, mais on ne s’y soumet pas.

Si α est un nombre complexe et si z ∈ C \] − ∞, 0], on d´ efinit z

^α

= exp (α log z). En particulier, si m est entier naturel non nul, z

^1/m

est la racine m

^i`eme

de z contenue dans le secteur {z, | Arg(z)| < π/m}.

z −→ 7→ z

^1/6

z 7→ −→ z

^1/6+i/3

−→ −→

−→ −→

Chaque d´ etermination du logarithme s’annulant en 1 – d´ efinie par exemple sur un plan coup´ e par n’importe quelle demi-droite issue de l’origine – donne lieu ` a une d´ efinition diff´ erente des fonctions puissance. Quand on ne dit rien, on sous-entend que c’est de la d´ etermination principale qu’il s’agit.

Quoi qu’il en soit, lorsque α est entier, on retrouve toujours les braves fractions rationnelles.

Si β est un nombre complexe, z

^α

log

^β

z = exp (α log z + β log log z) n’est d´ efinie et holomorphe que sur C \] − ∞, 1] ` a moins que β ne soit entier. Du coup, la fonction log

^β

(1 − z) n’est holomorphe que sur le plan priv´ e de la demi-droite [0, +∞[. En revanche, la fonction log

^β

1 1−z

est holomorphe dans le plan priv´ e des deux demi-droites ] − ∞, 0] et [1, +∞[ (si, si, mˆ eme si log

¹_z

= − log z pour tout z).

Enfin, pour obtenir la puissance β d’une brave s´ erie enti` ere de rayon 1 qui ne s’annule pas en 0, on se rabat sur

h

1 z

log

1 1−z

i

β

qui, elle, est bien holomorphe sur le plan priv´ e de la demi-droite [1, +∞[.

Dans les dessins ci-dessous, l’axe positif est au nord-ouest. Noter le d´ efaut d’holomorphie de log log(1 − z) le long de [0, +∞[, celui de log log

1 1−z

le long de ] − ∞, 0] ∪ [1, +∞[ et enfin ceui de log h

1 z

log

1 1−z

i

le long de [1, +∞[.

| log log(1 − z)|

log log

1 1−z

log h

1 z

log

1 1−z

i

Voil` a pourquoi Le Livre et tous les ouvrages raisonnables traitant d’analyse des singularit´ es prennent la pr´ ecaution de prendre pour ´ echelle de r´ ef´ erence la famille de fonctions log-puissance

1 − z

ζ

α

"

1

z ζ

log 1

1 −

^z_ζ

!#

β

, α, β, ζ ∈ C , ζ 6= 0

et non pas (1 −

^z_ζ

)

^α

log

^β

1 −

^z_ζ

qu’on pourrait pr´ ef´ erer pour plus de simplicit´ e. Cela dit, lorsque β est entier, la pr´ ecaution est inutile.

Mˆ eme en analyse combinatoire, on peut tomber sur des puissances rationnelles de log. Par exemple, la fonction g´ en´ eratrice ordinaire de la taille moyenne d’un arbre binaire uniforme compact´ e est affubl´ ee d’un β = −1/2, voir l’article de Flajolet, Sipala et Steyaert, r´ ef´ erence [257] de Le Livre. Les dessins des surfaces des modules et des parties imaginaires de p

log(1 − z), de q

log

_1−z¹

et de q

1

z

log

_1−z¹

pr´ esent´ es

ci-dessous ont leur axe r´ eel positif au nord-ouest. On y voit les gains successifs de passer ` a

_1−z¹

d’une

part, de diviser par z d’autre part.

| p

log(1 − z)|

r log

1 1−z

r

1 z

log

1 1−z

= p

log(1 − z) =

r log

1 1−z

=

r

1 z

log

1 1−z

1.4 Prolongement analytique, singularit´ es

La litt´ erature sur les fonctions holomorphes appelle presque pareil deux ph´ enom` enes assez diff´ erents : les points singuliers et les singularit´ es. On commence par les points singuliers ; ils concernent les fonctions qui sont holomorphes tout autour d’un point.

Proposition 1 (Point singuliers d’une fonction holomorphe) Soit f une fonction holomorphe sur un disque ´ epoint´ e D(a, r) \ {a}. Alors, une des trois situations (disjointes) suivantes se produit.

(i) f est born´ ee au voisinage de a ; f est alors holomorphe sur D(a, r).

(ii) Il existe m ∈ N

^∗

tel que (z − a)

^m

f (z) soit born´ ee (donc holomorphe) au voisinage de a. On dit alors que f a un pˆ ole d’ordre m en a et que f est m´ eromorphe en a.

(iii) f n’a aucune limite (finie ou infinie) en a. On parle alors de singularit´ e essentielle.

Exemples (un de chaque).

(i) Pour z

e

^z

− 1 , l’origine n’est qu’un point singulier apparent. Pour 1 − √ 1 − 4z 2z itou.

(ii) tan z est m´ eromorphe en tout point du plan et ses pˆ oles sont isol´ es (on dit m´ eromorphe dans le plan) et tous simples. D’ailleurs, sur n’importe quel ouvert du plan, les fonctions m´ eromorphes sont exactement les quotients de fonctions holomorphes. C’est une cons´ equence du c´ el` ebre th´ eor` eme de factorisation de Weiestrass, qui permet de construire des fonctions holomorphes dont les z´ eros sont prescrits. Voir par exemple [Rudin].

(iii) L’exemple paradigmatique de singularit´ e essentielle est l’origine pour la fonction exp (1/z).

Pour isoler (i) et (ii), on peut raisonner ` a partir du th´ eor` eme de Laurent : si une fonction f est holomorphe dans une couronne centr´ ee en l’origine {z ∈ C , 0 < r < |z| < R}, elle se d´ eveloppe en s´ erie de Laurent f(z) = P

n∈Z

c

n

z

ⁿ

et la formule de Cauchy donne encore ∀n ∈ Z , c

n

=

_2iπ¹

H

C

ζ

⁻ⁿ⁻¹

f (ζ)dζ o` u C est n’importe quel cercle contenu dans la couronne, parcouru une fois dans le sens direct. Noter que les deux s´ eries P

n≤0

c

_n

z

ⁿ

et P

n≥0

c

_n

z

ⁿ

convergent normalement sur tout compact de la couronne. Les situations (i) et (ii) corrrespondent au cas o` u la suite (c

n

)

n≤0

est presque nulle. Pour remplacer l’origine par le point a de l’´ enonc´ e, translater, bien sˆ ur. Au voisinage d’une singularit´ e essentielle a, pour laquelle une infinit´ e de c

_n

(n ≤ 0) sont non nuls, le paysage est tortur´ e : l’image par f de n’importe quel voisinage de a est le plan complexe priv´ e ´ eventuellement d’un unique point. Ce r´ esultat difficile est le (grand) th´ eor` eme de Picard. Voir par exemple [Rudin]. Dans l’exemple ci-dessus, exp(1/z) “rate” l’origine, et elle seulement. Dans les dessins qui suivent, outre le graphe de z 7→ | exp z| color´ e par l’argument, on a trac´ e l’image d’un carr´ e grillag´ e d’arˆ ete 0, 1 qui glisse vers l’origine.

Surface de

| exp(1/z)|

(Axe positif au NE)

−→

exp(1/z)

−→

exp(1/z)

↑ 10

⁻²

−→

exp(1/z)

↑ 10

⁻³

−→

exp(1/z)

↑ 10

⁻⁴

−→

exp(1/z)

↑ 10

⁻⁵

L’autre ph´ enom` ene, qui int´ eresse davantage la combinatoire analytique, est celui des singularit´ es qui sont les obstructions au prolongement analytique. Le point de vue DSE des fonctions holomorphes entraˆıne que si une fonction non nulle est holomorphe dans un ouvert connexe, l’ensemble de ses z´ eros n’a pas de point d’accumulation (la raison de fond : au voisinage d’un z´ ero nomm´ e a, une fonction holomorphe est de la forme (z − a)

^m

g(z) o` u g est holomorphe et ne s’annule pas en a). On en d´ eduit le principe du prolongement analytique.

Th´ eor` eme 1 (Prolongement analytique) Soient U un ouvert connexe de C et f et g deux fonc-

tions holomorphes sur U . Si f et g co¨ıncident sur une partie de U qui contient un point d’accumulation

(dans U ), elles sont ´ egales.

Autrement dit, si on peut prolonger une fonction holomorphe ` a un ouvert connexe plus gros, il n’y a qu’une seule mani` ere de le faire. C’est cela qu’on appelle le prolongement analytique. Au regard de cette propri´ et´ e, on accuse souvent les fonctions holomorphes d’une certaine rigidit´ e.

C’est le principe du prolongement analytique qui donne du corps ` a la notion de singularit´ e. Un exemple trivial : la s´ erie enti` ere P

n

z

ⁿ

, de rayon 1, d´ efinit une fonction holomorphe sur le disque unit´ e. Au voisinage de 1, elle n’est pas born´ ee. En revanche, au voisinage de n’importe quel autre point du cercle unit´ e, elle se prolonge en une fonction holomorphe (

_1−z¹

, bien sˆ ur).

D´ efinition 1 Soient f une fonction holomorphe sur un disque ouvert D et a un point du bord de D.

On dit que a est un point r´ egulier de f lorsqu’il existe un disque D

⁰

centr´ e en a et une fonction g holomorphe sur D

⁰

tels que f = g sur D ∩ D

⁰

. Sinon, on dit que a est une singularit´ e de f.

Bref, a ∈ ∂D est une singularit´ e de f lorsque f ne se prolonge pas analytiquement au voisinage de a.

Naturellement, les pˆ oles et les singularit´ es essentielles sont des singularit´ es. Mais il y a des singularit´ es qui ne permettent pas de “faire le tour” du point. C’est le cas par exemple de log(1 − z) en 1 pour la d´ etermination principale du logarithme. Noter aussi que 1 est aussi une singularit´ e de (1 − z) log(1 − z) bien que la fonction soit born´ ee au voisinage de 1 dans le plan priv´ e de [1, +∞[.

Il r´ esulte imm´ ediatement de la d´ efinition que l’ensemble des singularit´ es de f est une partie ferm´ ee du cercle. En outre, une s´ erie enti` ere a toujours une singularit´ e sur son cercle de convergence (sinon, on recouvrirait le cercle d’ouverts o` u f se prolongerait ; puisque le cercle est compact, f serait holomorphe sur un disque plus gros et la formule de Cauchy permettrait de conclure ` a la convergence de la s´ erie sur ce gros disque).

Exemples.

1- Les fonctions de l’´ echelle log-puissance : ` a moins que α ne soit un entier, la fonction (1 − z)

^α

a pour singularit´ es les points de la demi-droite [1, +∞[ et eux seulement. Si α est entier strictement n´ egatif, la fonction est holomorphe sur C \ {1} et admet un pˆ ole en 1. Si α est entier naturel, c’est un polynˆ ome : pas de singularit´ e. De mˆ eme, sauf dans quelques cas simples (exercice : lesquels ?), la fonction (1− z)

^α

h

1

z

log

_1−z¹

i

β

a pour singularit´ es les points de la demi-droite [1, +∞[ et eux seulement.

2- La fonction exp

_1−z¹

, holomorphe sur C \ {1}, a une singularit´ e en 1. Elle ne se d´ eveloppe pas dans l’´ echelle log-puissance puisque quel que soit α ∈ C , la fonction (1 − z)

^α

exp

_1−z¹

n’est pas born´ ee sur l’intervalle r´ eel [0, 1[.

3- La fonction 1

(2 − z)

²

(1 − z

⁴

)

²

admet quatre singularit´ es sur le cercle unit´ e. Ce sont toutes les cinq des pˆ oles doubles.

4- L’ensemble des singularit´ es sur le cercle peut ˆ etre vache. Par exemple, la s´ erie ` a termes positifs ou nuls f (z) = P

n≥0

z

²ⁿ

, dont le rayon est 1, v´ erifie sur le disque ouvert l’´ equation fonctionnelle f (z) = f z

²

+ 1. Toute racine (2

ⁿ

)

^i`eme

de l’unit´ e (n ≥ 0) est une singularit´ e de f puisque la s´ erie y diverge. Comme ces nombres sont denses dans le cercle, cela montre que le cercle tout entier est form´ e de points singuliers. On dit dans ce cas que le cercle est une fronti` ere naturelle de f . Cet exemple n’est pas isol´ e. Un th´ eor` eme d’Hadamard dit que si une s´ erie enti` ere P

n

a

n

z

^qn

a un rayon de convergence non nul et si en outre il existe η > 0 tel que q

n+1

≥ (1 + η)q

n

pour tout n (assez grand), alors le cercle de convergence de la s´ erie est une fronti` ere naturelle pour la fonction holomorphe qu’elle d´ efinit. Ces s´ eries sont dites lacunaires. La pr´ ec´ edente en est un exemple.

Ce th´ eor` eme d’Hadamard permet de construire un exemple (classique) encore plus frappant : la s´ erie

enti` ere P

n

e

⁻

√

2ⁿ

z

²ⁿ

, de rayon 1, admet le cercle unit´ e pour fronti` ere naturelle, selon le th´ eor` eme d’Hadamard. Cependant, la fonction holomorphe qu’elle d´ efinit sur le disque ouvert se prolonge en une fonction continue sur le disque ferm´ e, de classe C

^∞

sur le cercle (la convergence des s´ eries d´ eriv´ ees est normale sur le disque ferm´ e). Bref, ce n’est pas parce que les d´ eriv´ ees sont toutes born´ ees lorsqu’on s’approche d’un point en restant dans le disque (mˆ eme ferm´ e) que le dit point est r´ egulier.

5- Le produit infini

f (z) =

r 1 + z 1 − z

Y

n≥1

cosh z

²ⁿ

2n

d´ efinit une fonction holomorphe dans le cercle unit´ e. Exercice sp´ ecial ALEA : que compte cette s´ erie g´ en´ eratrice ? Le cercle unit´ e est une fronti` ere naturelle. Pour le voir, transformer le produit infini en la s´ erie

f(z) =

r 1 + z 1 − z

X

n≥1

(−1)

ⁿ⁻¹

n2

²ⁿ⁺¹

τ

n−1

Li

2n

z

⁴ⁿ

o` u les τ

n

sont d´ efinis par tan z = P

n≥0

τ

n

z

²ⁿ⁺¹

et o` u Li

m

est le polylogarithme Li

m

(z) = P

n≥1 zⁿ n^m

, holomorphe sur le disque ouvert et singulier en 1.

Pour la combinatoire analytique, on peut signaler le c´ el` ebre et commode th´ eor` eme de Pringsheim.

Th´ eor` eme 2 (Pringsheim) Si une fonction f est d´ efinie par une s´ erie enti` ere de rayon R ` a coeffi- cients positifs ou nuls, alors R est une singularit´ e de f .

Ce th´ eor` eme n’est pas tr` es difficile. Il repose pour l’essentiel sur le fait que lorsque les termes sont positifs ou nuls, on peut intervertir sans barguigner les sommations infinies (Tonelli). Voir [Titschmarsch] ou Le Livre.

2 Th´ eor` emes de transfert

L’id´ ee g´ en´ erale, magnifiquement expos´ ee dans Le Livre, est la suivante : l’asymptotique des coefficients d’une s´ erie enti` ere est intimement li´ ee aux singularit´ es sur son cercle de la fonction holomorphe qu’elle d´ efinit. Le th´ eor` eme de transfert dit pour l’essentiel, modulo quelques hypoth` eses, que lorsqu’on sait d´ evelopper la fonction au voisinage de ses singularit´ es dominantes dans l’´ echelle log-puissance en z

1 − z

ζ

α

"

1

z ζ

log 1

1 −

^z_ζ

!#

β

,

son n

^i`eme

coefficient de Taylor se d´ eveloppe automatiquement dans l’´ echelle g´ eo-log-puissance en n ζ

⁻ⁿ

n

^a

log

^b

n.

Il ne s’agit pas, dans ce cours, de dresser un paysage exhaustif des th´ eor` emes de transfert, mais de

montrer comment l’hypoth` ese intervient par le choix d’un contour ad hoc. Les th´ eor` emes de transfert

ont largement fait la preuve de leur efficacit´ e en analyse combinatoire. En particulier, ils s’automatisent

efficacement, demandez ` a Bruno Salvy, il sait tout. On peut ´ etendre ces ´ echelles en leur adjoignant

des log log, des log log log etc. Il faut seulement un peu de courage, ou en avoir vraiment besoin.

2.1 Asymptotique des coefficients de l’´ echelle log-puissance

Th´ eor` eme 3 (Asymptotique des coefficients de l’´ echelle) Si α, β et ζ sont des nombres complexes, ζ 6= 0, le coefficient de Taylor en 0 ` a l’ordre n de

1 − z

ζ

α

"

1

z ζ

log 1

1 −

^z_ζ

!#

β

ad- met un d´ eveloppement complet dans l’´ echelle g´ eo-log-puissance en n. En particulier, le d´ ebut de ce d´ eveloppement s’´ ecrit comme suit :

(i) Si β = 0 et α ∈ N ,

1 − z ζ

α

est un polynˆ ome.

(ii) Si β = 0 et α ∈ C \ N, [z

ⁿ

]

1 − z

ζ

α

= 1

Γ (−α) 1 ζ

ⁿ

1 n

^α+1

1 + α(α + 1)

2n + O

1 n

²

; (iii) Si β 6= 0 et α ∈ N,

[z

ⁿ

]

1 − z ζ

α

"

1

z ζ

log 1

1 −

^z_ζ

!#

β

= α!β 1 ζ

ⁿ

log

^β−1

n n

^α+1

1 + 1 − β

2 log n `

α

+ O 1

log

²

n

o` u `

α

= lim

x→−α

Ψ(x) − Ψ

⁰

(x) Ψ(x)

. Par exemple, `

0

= −2γ, `

1

= 2 − 2γ , `

2

= 3 − 2γ, `

3

=

¹¹₃

− 2γ . . . On a not´ e comme d’habitude Ψ la d´ eriv´ ee logarithmique de Γ et γ la constante d’Euler.

(iv) Si β 6= 0 et α ∈ C \ N ,

[z

ⁿ

]

1 − z ζ

α

"

1

z ζ

log 1

1 −

^z_ζ

!#

β

= 1

Γ (−α) 1 ζ

ⁿ

log

^β

n n

^α+1

1 − βΨ(−α) log n + O

1 log

²

n

.

Preuve. Pas question de donner ici une preuve compl` ete, on en trouve dans Le Livre et dans ses sources. On se contente ici d’en montrer le m´ ecanisme dans le cas le plus simple juste apr` es les cas triviaux : celui de (1 − z)

^α

lorsque α / ∈ N . Selon la formule de Cauchy, on part de l’expression

[z

ⁿ

](1 − z)

^α

= 1 2iπ

I

∂D

(1 − ζ)

^α

ζ

ⁿ⁺¹

dζ

o` u ∂D est un cercle simple et direct centr´ e en 0 contenu dans le disque unit´ e. Le paysage de cet int´ egrand le long de ces cercles n’est pas bien favorable ` a la recherche de cette asymptotique car le pic dˆ u ` a la division par ζ

ⁿ⁺¹

se transforme en chemin´ ee et r´ epartit sur tout le cercle la contribution du calcul de l’int´ egrale. Dans les trois premiers dessins ci-dessous, l’axe positif est au nord-est ; dans le quatri` eme, il est plein est.

(1 − z)

^1/3+i

(1 − z)

^1/3+i

z

(1 − z)

^1/3+i

z

²

(1 − z)

^1/3+i

z

⁶

Pour rem´ edier ` a cela, on d´ eforme le cercle en d’autres contours qui lui sont homotopes dans le domaine d’holomorphie de (1−z)

^α

/z

ⁿ⁺¹

, c’est-` a-dire dans le plan priv´ e de l’origine et de la demi-droite [1, +∞[.

0 1

On commence par le cercle de centre 0 qui passe par 1/2. On le d´ eforme en la r´ eunion d’un segment vertical et d’un arc de cercle (un D ` a l’envers) et on fait grandir le segment. D` es que n d´ epasse <(α), le module de l’int´ egrand tend vers z´ ero lorsque |ζ | tend vers l’infini et la contribution du demi-cercle (le ventre du D) au calcul de l’int´ egale curviligne s’efface lorsque le segment grandit. Au bout du compte, [z

ⁿ

](1 − z)

^α

´ egale l’int´ egrale curviligne du mˆ eme int´ egrand, le long du segment vertical 1/2 + iR parcouru une fois de bas en haut. Toujours par homotopie, on d´ eforme cette droite en l’incurvant vers la droite, jusqu’` a l’arc constitu´ e de la demi-droite −i/2 + [1, +∞[ parcourue de droite ` a gauche, suivie du demi-cercle 1 +

¹₂

e

i[π/2,3π/2]

parcouru dans le sens indirect puis de la demi-droite i/2 + [1, +∞[ parcourue de gauche ` a droite. Il ne reste plus qu’` a translater et contracter ce dernier arc en calant le sommet en le point 1 − 1/n (et les demi-droites ` a distance 1/n de l’axe r´ eel).

1

0 %

1 − 1/n

γ

n

On voit sur le dessin des surfaces que, sur le nou- vel arc d’int´ egration γ

n

, la contribution majeure de l’int´ egrand se fait au voisinage de 1, son modu- le tendant vers z´ ero lorsqu’on s’´ eloigne le long des demi-droites.

Avant d’entamer le calcul, on fait un changement de variable ζ 1 +

_n^ζ

sous l’int´ egrale curviligne :

[z

ⁿ

](1 − z)

^α

= 1 2iπ

I

γn

(1 − ζ )

^α

ζ

ⁿ⁺¹

dζ = n

^−α−1

2iπ

I

H

(−ζ)

^α

1 +

^ζ_n

n+1

dζ

o` u H est l’arc de Hankel constitu´ e de la demi-droite δ

1

= −i + [0, +∞[ parcourue de droite ` a gauche, suivie du demi-cercle indirect c = e

i[π/2,3π/2]

puis de la demi-droite δ

₂

= i + [0, +∞[ parcourue de droi-

0 i

← δ

1

δ

₂

→ c ↑

H

te ` a gauche. Et maintenant, on calcule. Lorsque n tend vers l’infini,

1 +

_n^ζ

n+1

= e

^ζ

+O(1/n). En prenant soin de contrˆ oler l’uniformit´ e le long de tout le contour d’int´ egration (on ne le d´ etaille pas ici), on montre que

[z

ⁿ

](1 − z)

^α

= n

^−α−1

2iπ

I

H

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ + O 1

n

.

On conclut enfin avec le joli lemme suivant qui fait fonctionner l’homotopie des lacets (encore) et le prolongement analytique.

Lemme 1 Si α ∈ C \ N et si H est le contour de Hankel d´ efini ci-dessus, alors 1

2iπ I

H

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ = 1 Γ(−α) .

Dans le cas o` u α ∈ N , l’´ egalit´ e se prolonge : l’int´ egrale est nulle et Γ a un pˆ ole simple en −α.

Preuve. D’abord, les deux fonctions α 7→ 1

Γ(−α) et α 7→ 1 2iπ

I

H

(−ζ )

^α

e

^−ζ

dζ sont holomorphes sur

C \ N . En vertu du th´ eor` eme de prolongement analytique, il suffit donc de montrer l’´ egalit´ e lorsque

α ∈]0, 1[, ce que l’on suppose sur le champ. Ensuite, par homotopie des lacets dans C \ [0, +∞[,

l’int´ egrale est aussi l’int´ egrale de (−ζ)

^α

e

^−ζ

le long du lacet homoth´ etique εH, pour tout ε > 0 (que l’on s’empressera de faire tendre vers 0, on ne l’appellerait pas comme cela sinon) :

1 2iπ

I

H

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ = 1 2iπ

I

εδ1

(−ζ )

^α

e

^−ζ

dζ + I

εc

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ + I

εδ2

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ

.

• On r` egle le sort du demi-cercle εc, param´ etr´ e par ζ = −εe

^−iθ

, θ ∈ [π/2, −π/2]. Comme α est r´ eel, sur cet arc,

(−ζ)

^α

e

^−ζ

=

εe

^−iθ

α

·

e

^εeiθ

= ε

^α

e

^εcosθ

≤ ε

^α

e

^ε

. Ainsi,

1 2iπ

I

εc

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ

≤ 1 2 ε

^1+α

e

^ε

qui tend vers 0 lorsque ε tend vers 0 puisqu’on a pris le soin de prendre α > −1.

• On s’occupe simultan´ ement de la demi-droite droite-gauche εδ

₁

, param´ etr´ ee par ζ = −iε + t, t ∈ ] + ∞, 0] et de la demi-droite gauche-droite εδ

2

, param´ etr´ ee par ζ = iε + t, t ∈ [0, +∞[. Leur somme

´ egale

1 2iπ

Z

0

+∞

(−t + iε)

^α

e

^−t+iε

dt + Z

+∞

0

(−t − iε)

^α

e

^−t−iε

dt

.

Il s’agit de voir ce qui se passe quand ε tend vers 0. Vu que t > 0, la limite de log(−t + iε) lorsque ε tend vers 0 par valeurs positives est log t + iπ. De mˆ eme pour son conjugu´ e log(−t − iε) qui tend vers log t − iπ. Ainsi,

1 2iπ

I

εδ1

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ + I

εδ2

(−ζ )

^α

e

^−ζ

dζ

ε→0, ε>0

−→

−e

^iπα

+ e

^−iπα

2iπ

Z

+∞

0

t

^α

e

^−t

dt

(les convergences sont domin´ ees). On conclut avec la formule de r´ eflexion d’Euler qui entraˆıne que

− 1

π sin(πα)Γ(α + 1) = 1

π sin [π(α + 1)] Γ(α + 1) = 1/Γ(−α).

• On a fini le travail : 1 2iπ

I

H

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ = lim

ε→0, ε>0

1 2iπ

I

H

(−ζ)

^α

e

^−ζ

dζ = 1/Γ(−α).

2.2 L’hypoth` ese camembert

Cette hypoth` ese est la condition suffisante clef de l’analyse des singularit´ es telle qu’elle est d´ evelopp´ ee dans Le Livre. On ´ evoquera plus loin que d’autres formes d’hypoth` eses sont envisageables.

L’hypoth` ese camembert

Soient f une fonction holomorphe en 0 et ζ un nombre complexe non nul. On dit que f est camembert en ζ lorsque f est holomorphe dans un domaine (un camembert ouvert) du plan de la forme

{z ∈ C, |z| < |ζ | + η, z 6= ζ, | Arg(z − ζ )| > ϕ}

o` u η > 0 et ϕ ∈]0, π/2[ (Arg d´ esigne l’argument principal). On dit aussi que f est camembert en

ζ

1

, . . . , ζ

m

lorsque f est holomorphe sur une intersection de camemberts en les ζ

k

.

0 ζ

Camembert en ζ

0 ζ

1

ζ

2

ζ

3

Camembert en ζ

1

, ζ

2

, ζ

3

Exemples.

1- Toute fraction rationnelle d´ efinie en 0 est camembert en tous ses pˆ oles ` a distance minimale de l’origine. Les fonctions de l’´ echelle (1 − z)

^α

h

1

z

log

_1−z¹

i

β

sont toutes camembert en 1 (mˆ eme celles d’entre elles qui sont des polynˆ omes !).

2- La combinatoire analytique fourmille de camemberts. Je n’insiste pas. Par exemple, euh, au hasard, la fonction g´ en´ eratrice des Catalans

¹⁻

√1−4z

2

est camembert en 1/4.

3- La fonction exp

_1−z¹

est camembert en 1.

4- En revanche, en un point d’accumulation de singularit´ es sur le cercle, une fonction ne peut pas ˆ

etre camembert. Par exemple, la s´ erie P

n≥0

z

²ⁿ

, qui est singuli` ere en toutes les racines (2

ⁿ

)

^i`emes

de l’unit´ e, n’est camembert en aucune partie finie du cercle.

2.3 Transfert, une seule singularit´ e dominante

Par d´ efinition, lorsqu’une fonction est holomorphe ` a l’origine, ses singularit´ es dominantes sont ses singularit´ es ` a distance minimale de l’origine. Autrement dit, ce sont les nombres complexes du cercle de convergence de sa s´ erie de Taylor en 0 en lesquels la fonction est singuli` ere. On suppose ici qu’une fonction holomorphe en 0 n’a qu’une seule singularit´ e dominante ζ et qu’elle y est camembert.

Th´ eor` eme 4 (Transfert) Soit f une fonction camembert en ζ . On suppose que σ et ρ sont deux fonctions de l’´ echelle log-puissance (au point ζ ) telles que, lorsque z tend vers ζ en restant inclus dans le camembert ouvert,

f (z) = Cσ(z) + O

ρ(z)

. Alors, lorsque n tend vers +∞,

[z

ⁿ

]f (z) = C[z

ⁿ

]σ(z) + O

[z

ⁿ

]ρ(z) .

Bien sˆ ur, le O n’a vraiment de sens que lorsque l’ordre en ζ de σ est sup´ erieur ` a l’ordre en ζ de ρ.

Cela permet, lorsqu’on sait d´ evelopper f (z) au voisinage camembert de ζ dans l’´ echelle log-puissance en z, de d´ evelopper [z

ⁿ

]f (z) dans l’´ echelle g´ eo-log-puissance en n lorsque n tend vers l’infini. Il suffit pour cela d’appliquer le th´ eor` eme en retranchant ` a f le d´ ebut de son d´ eveloppement. Autrement dit, on peut remplacer le σ de l’´ enonc´ e par une combinaison lin´ eaire de fonctions de l’´ echelle log-puissance (au point ζ).

Preuve. On montre une preuve rapide du cas ζ = 1, C = 0 et ρ(z) = (1 − z)

^α

, α ∈ R . Autrement dit,

au regard de l’asymptotique des coefficients de l’´ echelle log-puissance, il s’agit de montrer que si f est

O(1 − z)

^α

au voisinage camembert de 1, alors [z

ⁿ

]f (z) est O(n

^−α−1

) en l’infini. Soit ainsi M > 0 tel que |f (z)| ≤ M |(1−z)

^α

| au voisinage camembert de 1. On calcule [z

ⁿ

]f(z) par une int´ egrale curviligne le long d’un arc simple et direct γ

n

enti` erement contenu dans le camembert, comme celui dessin´ e sur

γ

_n

la figure (Hankel) : un petit arc de cercle de centre 1 et de rayon 1/n, un grand arc de cercle qui fait le tour de l’origine ` a une distance R strictement sup´ erieure ` a 1 mais en restant ` a l’int´ erieur du camembert et on joint les deux arcs de cercle par des bouts de rayon du petit cercle. Lorsque n tend vers l’infini, la contribution du grand arc de cercle est n´ egligeable devant n

^−α−1

car sa d´ ecroissance est mieux que g´ eom´ etrique :

1 2iπ

I f (ζ) ζ

ⁿ⁺¹

dζ

≤ 1

2π max |f |

I dζ

|ζ

ⁿ⁺¹

| ≤ cte R

ⁿ⁺¹

.

Le petit cercle et les deux segments contribuent significativement ` a l’asymptotique de l’int´ egrale. A condition que n soit assez grand pour garantir la majoration de |f| par M|1 −z|

^α

, comme |z| ≥ 1− 1/n sur le petit cercle, l’int´ egrale sur ce dernier se majore par

1 2iπ

I f (ζ ) ζ

ⁿ⁺¹

dζ

≤ 1

2π max |f | · 1

1 −

¹_n

n+1

· 2π n ≤ M

1 n

α

· cte

n ≤ cte n

^α+1

.

Il reste l’int´ egrale sur les bouts de rayons. On regarde celui du haut. Celui du bas lui ressemble, on s’en abstiendra. En appelant θ ∈]0, π/2[ l’angle du petit segment avec l’axe des abscisses, on param` etre le dit segment par 1 + te

^iθ

/n, 1 ≤ t ≤ nρ o` u ce ρ est la distance de 1 au grand arc de cercle. Pourvu que n soit assez grand (toujours pour la majoration en grand O de f ),

1 2iπ

I f (ζ) ζ

ⁿ⁺¹

dζ

=

1 2iπ

Z

_nρ

1

f 1 +

_n^t

e

^iθ

1 +

_n^t

e

^iθ

n+1

· e

^iθ

dt n

≤ M 2πn

Z

+∞

1

t n

α

1 +

_n^t

e

^iθ

n+1

dt.

Enfin, puisque

1 +

_n^t

e

^iθ

≥ 1 +

_n^t

cos θ, et puisque

n→∞

lim Z

+∞

1

1 + t

n cos θ

−(n+1)

t

^α

dt = Z

+∞

1

t

^α

e

^−tcosθ

dt (cos θ 6= 0, la convergence est domin´ ee), on attrape la majoration qu’on voulait :

1 2iπ

I f(ζ) ζ

ⁿ⁺¹

dζ

≤ cte n

^α+1

.

Les preuves des autres cas n´ ecessitent parfois davantage d’adresse dans les majorations mais sont du mˆ eme acabit.

Exemples.

1- Les applications du th´ eor` eme de transfert grouillent en combinatoire analytique. On n’insiste pas.

2- Pour tout ν ∈ C, la fonction polylogarithme Li

ν

(z) = X

n≥1

z

ⁿ

n

^ν

est camembert en 1 et y admet un d´ eveloppement dans l’´ echelle log-puissance. A vrai dire, ces fonctions se prolongent analytiquement au plan priv´ e de [1, +∞[. Dans le cas o` u ν est entier n´ egatif ou nul, Li

_ν

est une fraction rationnelle dont −1 est l’unique pˆ ole. Dans le cas o` u ν est entier naturel non nul, Li

_ν

s’obtient par primitivations successives de

_1−z¹

. Dans le cas o` u ν est non entier, le prolongement vient par exemple d’une repr´ esentation int´ egrale ` a la Lindel¨ of :

Li

_ν

(−z) = −1 2iπ

I

1 2+iR

z

^s

s

^ν

π

sin πs ds

(voir Le Livre qui consacre tout un paragraphe aux polylogarithmes). Ces fonctions admettent des d´ eveloppements complets au voisinage camembert de 1 dans l’´ echelle log-puissance. Les parties prin- cipales des d´ eveloppements ont les formes suivantes :

(i) si ν ∈ N

^∗

, Li

_ν

(z) = polynˆ ome en z + (−1)

^ν

(ν − 1)! (1 − z)

^ν−1

log(1 − z) + o (1 − z)

^ν−1

log(1 − z)

; (ii) si ν ∈ C \ Z , Li

_ν

(z) = polynˆ ome en z + Γ(1 − ν )(1 − z)

^ν−1

+ o (1 − z)

^ν−1

.

Bien sˆ ur, appliquer le th´ eor` eme de transfert ` a un polylogarithme ne pr´ esente pas un int´ erˆ et faramineux.

Mais ces fonctions s’invitent souvent dans le paysage de l’analyse des singularit´ es et, l` a, c’est beaucoup plus int´ eressant.

3- Quoique camembert en 1, la fonction exp 1

1 − z

ne se d´ eveloppe pas dans l’´ echelle log-puissance (on l’a vu). Elle ´ echappe ` a ce th´ eor` eme de transfert.

4- Par d´ efaut de camembert, les s´ eries enti` eres qui ont une fronti` ere naturelle sur leur cercle de convergence sont aussi exclues du champ d’application de ce th´ eor` eme de transfert.

2.4 Plusieurs singularit´ es dominantes

Lorsqu’une fonction holomorphe en 0 admet plusieurs singularit´ es dominantes ζ

1

, . . . , ζ

m

(toutes n´ ecessairement sur le cercle de convergence du d´ eveloppement de Taylor en 0 de f ), et si cette fonction est camembert en les ζ

_k

, les contributions des singularit´ es dominantes s’ajoutent entre elles dans le d´ eveloppement de [z

ⁿ

] f(z). Pour montrer cela, il suffit d’adapter les preuves du cas d’une singularit´ e unique en utilisant un contour comme on se l’imagine : faire le tour de 0 le long d’un cercle au-del` a du disque de convergence en ´ evitant tous les accrocs au camembert par des trous de serrure comme dans le dessin de γ

n

.

Exemple.

Un exemple archi-classique pour voir des oscillations dans l’asymptotique. La s´ erie g´ en´ eratrice du nombre de fa¸ cons de payer n euros en pi` eces de 2, 3 et 4 euros est la fraction rationnelle

f (z) = 1

(1 − z

²

) (1 − z

³

) (1 − z

⁴

) .

Elle est singuli` ere et camembert en 1 (pˆ ole triple), en −1 (pˆ ole double), en j = e

^2iπ/3

, j

²

, i et −i (pˆ oles simples). Les contributions des d´ eveloppements en ces points s’ajoutent. On d´ eveloppe : (i) en 1, f(z) =

₂₄¹ _(1−z)¹ 3

+

¹_8(1−z)¹ 2

+

₂₈₈⁵⁹ _1−z¹

+ O(1) ;

(ii) en −1, f (z) =

₁₆¹ _(1+z)¹ 2

+

₃₂⁷ _1+z¹

+ O(1) ;

(iii) en j, f (z) =

¹_91−z/j¹

+ O(1) ; pour le d´ eveloppement en j

²

, conjuguer celui-l` a ; (iv) en i, f (z) =

¹⁻ⁱ_{16 1−z/i}¹

+ O(1), ` a conjuguer pour avoir le d´ eveloppement en −i.

On calcule la contribution de chacun des termes. On a successivement :

(i) pour le pˆ ole triple, [z

ⁿ

]

_(1−z)¹ 3

=

¹₂

(n + 2)(n + 1) =

ⁿ₂²

+

³ⁿ₂

+ 1 (formule exacte !) ; (ii) pour les pˆ oles au moins doubles, [z

ⁿ

]

_(1−z)¹ 2

= n + 1 et [z

ⁿ

]

_(1+z)¹ 2

= (−1)

ⁿ

(n + 1);

(iii) pour tous les pˆ oles, [z

ⁿ

]

_1−z¹

= 1 et [z

ⁿ

]

_1−z/ω¹

= ω

⁻ⁿ

.

On rassemble et on applique le th´ eor` eme de transfert. On obtient [z

ⁿ

]f (z) =

n²

2

+

³ⁿ₂

+ 1

×

₂₄¹

+ (n + 1)

¹₈

+ (−1)

ⁿ₁₆¹

+

₂₈₈⁵⁹

+ (−1)

ⁿ₃₂⁷

+ (j

⁻ⁿ

+ j

ⁿ

)

¹₉

+ i

⁻ⁿ¹⁻ⁱ₁₆

+i

ⁿ¹⁺ⁱ₁₆

, soit en simplifiant

[z

ⁿ

]f (z) = n

²

+ n

3 + (−1)

ⁿ

+ 107 + 9

(−1)

ⁿ

+ 2

cos 2nπ +

√ 2

cos(2n + 1) π + O

1

.

Tout ce boulot a ´ et´ e fait pour illustrer l’effet oscillant des singularit´ es non positives sur l’asymptotique, l’ordre o` u intervient chaque oscillation d´ ependant de la vigueur de la singularit´ e.

2.5 Autres conditions suffisantes de transfert

Le Livre en dit beaucoup. On effleure ` a peine d’autres situations ou d’autres m´ ethodes.

• Lorsque α < −1, l’hypoth` ese camembert est inutile. Il suffit que f soit O (1 − z)

^α

au voisinage de 1 dans le disque ouvert pour que [z

ⁿ

] f (z) soit O n

^−α−1

. Pour le voir, int´ egrer ` a la Cauchy sur le cercle de rayon 1 − 1/n. Idem avec des logarithmes.

• La m´ ethode de Darboux. Elle s’appuie sur le r´ esultat suivant : soit f une fonction holomorphe dans le disque unit´ e ouvert. Si la d´ eriv´ ee m

^i`eme

de f se prolonge par continuit´ e sur le disque ferm´ e, alors [z

ⁿ

]f (z) ∈ o (n

^−m

).

Pour montrer cela, partir de la formule de Cauchy en int´ egrant sur le cercle unit´ e, int´ egrer par parties un nombre suffisant de coups pour pouvoir appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue. Cela s’applique par exemple aux fonctions (1 − z)

^m

log(1 − z), ou encore aux polylogarithmes.

• [Tauber. R´ ef´ erence dans le monde des matheux. Exemple.]

• Il arrive que les fronti` eres naturelles pr´ esentent une hi´ erarchie dans la vigueur des singularit´ es. C’est le cas de l’exemple ci-dessus du produit infini r´ e´ ecrit ` a l’aide de polylogarithmes

f (z) =

r 1 + z 1 − z

X

n≥1

(−1)

ⁿ⁻¹

n2

²ⁿ⁺¹

τ

n−1

Li

_2n

z

⁴ⁿ

.

Si on ne cherche ` a d´ evelopper [z

ⁿ

]f (z) qu’` a l’ordre 3, il suffit de ne consid´ erer que les polylogarithmes qui contribuent ` a cet ordre et de leur appliquer le th´ eor` eme de transfert. Les autres n’interviendront pas en vertu du th´ eor` eme de Darboux ´ evoqu´ e ci-dessus. Pour en savoir davantage, voir [Hybride].

• En revanche, une fronti` ere naturelle comme celle de la tr` es c´ el` ebre fonction g´ en´ eratrice des partitions Y

n≥1

1 1 − z

ⁿ

est hors de port´ ee de ces techniques de transfert, et ressort pleinement de la m´ ethode du col.

3 Davantage sur les Cauchysseries

La formule de Cauchy, on l’a d´ ej` a dit, a des variantes et des applications ´ eblouissantes. Bien loin d’en apporter une vision exhaustive, on en pointe deux, certainement les plus c´ el` ebres, qu’on utilisera dans la suite : la formule des r´ esidus et le comptage des z´ eros.

3.1 Indice

Dans la formule de Cauchy telle qu’elle est ´ enonc´ ee plus haut, on int` egre le long d’un lacet simple et direct. Cette condition se g´ en´ eralise en un ´ enonc´ e plus satisfaisant pour l’esprit o` u la formule s’´ ecrit sans hypoth` ese sur le lacet. Pour cela, on a besoin de d´ efinir l’indice d’un point relatif ` a un lacet.

Proposition 2 Soit γ un lacet du plan complexe. Alors, pour tout z hors du support de γ, le nombre Ind

γ

(z) := 1

2iπ I

γ

dζ ζ − z

est entier relatif. Cette fonction est constante sur les composantes connexes du compl´ ementaire du

support de γ, nulle sur celle d’entre elles qui n’est pas born´ ee.

Ce nombre, on l’aura compris, est appel´ e indice de z par rapport ` a γ. Vu que l’int´ egrand est holomorphe, Ind

γ

(z) ne change pas si on remplace γ par un lacet qui lui est homotope dans C \ {z}. Lorsque γ est un cercle centr´ e en z simple et direct, Ind

γ

(z) = 1 comme on a d´ ej` a vu. Si le mˆ eme cercle est indirect, Ind

_γ

(z) = −1. Plus g´ en´ eralement, Ind

_γ

(z) compte le nombre de tours – signe compris – que fait γ autour du point z.

Preuve (archi classique). Quitte ` a changer de param` etre, on prend γ : [0, 1] −→ C, de classe C

¹

par morceaux. La fonction d´ efinie sur [0, 1] par

ϕ(t) = exp Z

t

0

γ

⁰

(s) γ(s) − z ds

est continue. Elle est d´ erivable sauf peut-ˆ etre en les points o` u γ

⁰

n’est pas continue (ces points sont en nombre fini) et v´ erifie

ϕ

⁰

(t)

ϕ(t) = γ

⁰

(t) γ (t) − z . Cela montre que la fonction continue t 7−→ ϕ(t)

γ(t) − z a une d´ eriv´ ee nulle sur le compl´ ementaire d’une partie finie de [0, 1]. Donc elle est constante, ce qui entraˆıne que

_γ(0)−z^ϕ(0)

=

_γ(1)−z^ϕ(1)

. Puisque γ est un lacet, γ(0) = γ(1), qui implique que ϕ(0) = ϕ(1) = 1 : les valeurs de R

1

0 γ⁰(s)

γ(s)−z

ds sont multiples de 2iπ, ce qu’on voulait d´ emontrer. Enfin, la fonction z 7→ Ind

_γ

(z) est continue (elle est mˆ eme holomorphe) sur le compl´ ementaire du support de γ. Comme ses valeurs sont enti` eres, elle est localement constante.

Qu’elle soit nulle sur le compl´ ementaire vient directement de sa d´ efinition (faire tendre z vers l’infini ; au passage, qu’il n’y ait qu’une seule composante connexe non born´ ee au compl´ ementaire du support du lacet vient de ce que lorsqu’on enl` eve un disque du plan, ce qui reste est connexe).

3.2 Formule des r´ esidus

D´ efinition 2 Soit f une fonction holomorphe sur un disque ´ epoint´ e D \ {a} de C . Le r´ esidu de f en a, qu’on notera Res(f, a) est le nombre d´ efini par n’importe quelle des propri´ et´ es suivantes : (i) Res(f, a) = c

−1

o` u f (z) = X

n∈Z

c

n

(z − a)

ⁿ

le d´ eveloppement en s´ erie de Laurent de f en a ; (ii) Res(f, a) est l’unique nombre complexe c tel que la fonction f (z) − c

z − a admette une primitive holomorphe au voisinage ´ epoint´ e de a ;

(iii) Res(f, a) = 1 2iπ

I

∂D

f (ζ )dζ o` u ∂D est le bord simple et direct de D.

Le calcul de r´ esidus est un sport ` a part enti` ere. Citons deux cas commodes. Le premier : si a est un pˆ ole simple de f , alors Res(f, a) = lim

_z→a

(z − a)f (z). Le second : si f et g sont holomorphes en a et si a est un z´ ero simple de g, alors Res(f /g, a) = f(a)/g

⁰

(a).

On peut maintenant ´ enoncer le fameux th´ eor` eme des r´ esidus, forme ´ elabor´ ee de la formule de Cauchy.

Combin´ e avec l’homotopie des chemins, c’est un outil efficace de calcul d’int´ egrales r´ eelles qui fait l’objet de livres entiers. Il a aussi un int´ erˆ et th´ eorique. On l’utilisera plus bas.

Th´ eor` eme 5 (Th´ eor` eme des r´ esidus) Soient U un ouvert simplement connexe du plan et S une partie finie de U . Soient f une fonction holomorphe sur U \ S et γ un lacet ` a valeurs dans U \ S . Alors,

1 2iπ

I

f (ζ )dζ = X

Res(f, s) Ind

_γ

(s).

Preuve. On note g la partie singuli` ere de f , somme des d´ eveloppements n´ egatifs des d´ eveloppements en s´ erie de Laurent de f en les points de S . Puisque f − g est holomorphe dans le simplement connexe U , R

γ

f = R

γ

g. Par ailleurs, les (z − s)

^−m

, m ≥ 2 admettent des primitives dans U ; leurs int´ egrales le long du lacet γ sont donc nulles. Comme les s´ eries de Laurent sont normalement convergentes, il ne reste plus que

I

γ

f = X

s∈S

I

γ

Res(f, s) z − ζ dζ et le tour est jou´ e.

Corollaire 1 Soient f une fonction holomorphe dans un ouvert simplement connexe U , du plan, z un point de U et γ un lacet qui ne passe pas par z. Alors,

Ind

γ

(z) · f (z) = 1 2iπ

I

γ

f (ζ ) ζ − z dζ.

Le corollaire se d´ eduit imm´ ediatement du th´ eor` eme. C’est la formule de Cauchy compl` ete, sans hypoth` ese de simplicit´ e ni d’orientation du lacet. Dans les deux ´ enonc´ es, au lieu de supposer que U est simplement connexe on peut int´ egrer le long de n’importe quel lacet homotope ` a z´ ero. La mˆ eme preuve fonctionne.

3.3 Nombre de z´ eros (et de pˆ oles)

Proposition 3 Soit f une fonction holomorphe dans un ouvert U . Alors, pour tout disque ferm´ e D contenu dans U , si ∂D d´ esigne le bord de D parcouru une fois dans le sens positif et si f ne s’annule pas sur le support de ∂D,

1 2iπ

I

∂D

f

⁰

(ζ ) f (ζ) dζ

est le nombre de z´ eros de f dans D, compt´ es avec leurs multiplicit´ es.

Lorsque a est un z´ ero de f , la multiplicit´ e de a est l’entier naturel m tel que f (a) = (z − a)

^m

g(z) o` u g est holomorphe et non nulle en a. La proposition est ´ enonc´ ee dans un cas simple. La formule compl` ete, qui n’est pas plus ch` ere, s’´ etend aux pˆ oles. On d´ efinit la multiplicit´ e d’un pˆ ole comme celle d’un z´ ero ; c’est alors un entier n´ egatif. A vrai dire, parfum alg´ ebrique, on parle plutˆ ot de valuation de f en a. On notera v

_f

(a) la valuation de f en a. On peut alors ´ enoncer le th´ eor` eme de comptage des z´ eros et pˆ oles d’une fonction m´ eromorphe.

Th´ eor` eme 6 Soient U un ouvert simplement connexe du plan et f une fonction m´ eromorphe dans U , n’ayant dans U qu’un nombre fini de z´ eros et de pˆ oles. Soit γ un lacet de U qui ne passe par aucun z´ ero et aucun pˆ ole de f . Alors,

1 2iπ

I

γ

f

⁰

f = X

a∈C

v

_f

(a) · Ind

_γ

(a).

En particulier, si γ est simple et direct, l’int´ egrale compte le nombre de z´ eros moins le nombre de pˆ oles de la r´ egion compacte que γ d´ elimite (multiplicit´ es comprises).

Preuve. C’est la formule des r´ esidus : en chaque a ∈ C , la fonction f

⁰

/f a pour r´ esidu v

_f

(a) (qui est nul si a n’est ni pˆ ole ni z´ ero de f).

4 Sur la m´ ethode d’inversion de Lagrange

La situation est la suivante : une s´ erie g´ en´ eratrice f v´ erifie une ´ equation implicite

f (z) = zφ(f (z))