Universit´e Pierre et Marie Curie License LM345 Ann´ee 2010-2011 PIMA
Contrˆole continu 3
Exercice 1.Soit(Xn)n≥1une suite de variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes et identiquement distribu´ees, d´efinies sur un espace de probabilit´e(Ω,F,P), telles queE[X1] =metE[X12] =θ2.
1. Que peut on dire de la convergence presque sure de la suite de variables al´eatoiresX2 1+...+Xn2
n
n≥1? 2. Que peut on dire de la convergence presque sure de la suite de variables al´eatoires
X1X2+X2X3+. . .+Xn−1Xn
n
n≥2
?
On pourra se servir des suites(X1X2+X3X4+. . .+Xn−1Xn)n≥2et(X2X3+X4X5+. . .+Xn−2Xn−1)n≥2. On rappelle qu’il est attendu que le candidat prenne grand soin de v´erifier les hypoth`eses des th´eor`emes utilis´es.
Exercice 2. Soit(Ω,F,P)un espace de probabilit´e. Soit(Xn)n≥1 une suite de variables al´eatoires ind´ependantes d´efinies sur(Ω,F,P), toutes de loi de Bernoulli de param`etrep∈]0,1[.
1. On d´efinit, pour toutn≥1et toutω∈Ω,
Sn(ω) = le nombre d’entiersk∈ {1, . . . , n}tels queXk(ω) = 1.
D´eteminer la loi deSn. Les variables(Sn)n≥1sont-elles ind´ependantes ? 2. On d´efinit, pour toutω∈Ω,
T1(ω) = min{n≥1 :Xn(ω) = 1},
avec la conventionmin∅= +∞. CalculerP(T1=k)pour toutk≥0, montrer queP(T1 = +∞) = 0. Que peut on dire de la loi deT1?
3. On d´efinit maintenant, pour toutω∈Ω,
T2(ω) = min{n > T1(ω) :Xn(ω) = 1}.
D´eterminer les lois deT2−T1. Montrer queT1etT2−T1sont ind´ependantes.
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