MPSI B 6 octobre 2019

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Énoncé

On veut exprimer une suite (a

k

)

_k∈

N

de nombres entiers telle que :

∀n ∈ N : n! =

n

X

k=0

n k

a

_k

.

On convient que 0! = 1 .

1. Calculer a

0

, a

1

, a

2

, a

3

, a

4

et justier l'existence de cette suite d'entiers.

2. Soit k et n entiers naturels tels que k < n , soit z ∈ C, montrer que

X

m∈Jk,nK

m k

n m

z

^m

=

n k

(1 + z)

^n−k

z

^k

.

On pourra exprimer

^m_k

n m

uniquement avec des factorielles et les réorganiser.

3. Soit n un entier naturel non nul et T l'ensemble des couples (m, k) d'entiers naturels tels que 0 ≤ k ≤ m ≤ n . Des nombres réels t

m,k

sont donnés pour tous les (m, k) ∈ T . Préciser les intervalles d'entiers auxquels doivent appartenir k et m dans les expressions

X

(m,k)∈T

t

m,k

= X

m∈?

X

k∈?

t

m,k

!

= X

k∈?

X

m∈?

t

m,k

! .

4. Montrer que

(−1)

ⁿ

a

n

= X

m∈J0,nK

m!

n m

(−1)

^m

.

Corrigé

1. Le système de relations vérié par les a

_i

demandés est triangulaire :

a

0

= 1

a

0

+ a

1

= 1

a

₀

+ 2a

₁

+ a

₂

= 2

a

0

+ 3a

1

+ 3a

2

+ a

3

= 6

a

₀

+ 4a

₁

+ 6a

₂

+ 4a

₃

+ a

₄

= 24

On en tire a

0

= 1 , a

1

= 0 , a

2

= 1 , a

3

= 2 , a

4

= 9 . Comme le système est triangulaire avec un coecient 1 devant a

n

, le dernier a

n

s'exprime en fonction des a

k

précédents et il est entier.

2. On exprime les coecients du binôme avec des factorielles

m k

n m

= m!

k! (m − k)!

n!

m! (n − m)! = n!

k! (m − k)! (n − m)!

= n!

k! (n − k)!

(n − k)!

(m − k)! (n − m)! = n

k

n − k m − k

Cela permet de faire apparaitre une formule du binôme

X

m∈Jk,nK

m k

n m

z

^m

=

n k

X

m∈Jk,nK

n − k m − k

z

^m

= n

k



 X

m∈Jk,nK

n − k m − k

z

^m−k



 z

^k

= n

k



 X

i∈J0,n−kK

n − k i

z

ⁱ



 z

^k

= n

k

(1 + z)

^n−k

z

^k

3. La sommation sur le triangle s'écrit avec des doubles sommes

X

(m,k)∈T

t

_m,k

= X

m∈J0,nK



 X

k∈J0,mK

t

_m,k



 = X

k∈J0,nK



 X

m∈Jk,nK

t

_m,k





Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Asomm3

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4. On écrit la somme à droite comme une double somme et on intervertit les sommations :

X

m∈J0,nK

m!

n m

(−1)

^m

= X

m∈J0,nK



 X

k∈K0,mJ

m k

a

_k



 n

m

(−1)

^m

= X

k∈J0,nK

a

k



 X

m∈Jk,nK

m k

n m

(−1)

^m



 = X

k∈J0,nK

a

k

k n

(1 − 1)

^n−k

(−1)

^k

d'après la question 2 avec z = −1 . Le seul indice k qui contribue de manière non nulle à la somme est donc k = n . On en tire

X

m∈J0,nK

m!

n m

(−1)

^m

= a

n

n n

(−1)

ⁿ

= (−1)

ⁿ

a

n

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