MPSI B 3 septembre 2019

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MPSI B 3 septembre 2019

G

A B

C D

U V W

Fig. 1: Construction des carrés extérieurs.

Énoncé

Soit ABCD un carré et G un point de ]B, C [ . On construit deux carrés extérieurs à ABCD de côtés respectifs [B, G] et [G, C] . On note (voir gure 1)

U le centre du carré de côté [G, C] , V le centre du carré de côté [B, G] , W le centre du carré ABCD .

Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On convient que l'axe d'un point désigné par une lettre majuscule est désignée par la minuscule correspondante.

Ainsi, l'axe de A est a = 0 , celle de B est b = 1 , celle de G est g = 1 + γ i avec γ ∈ ]0, 1[ . 1. Calculer les axes c , d , u , v , w de C , D , U , V , W .

2. Vérier que les segments U B et V W sont orthogonaux et de même longueur.

C

1

B

₁

G

A B

C D

U V W

Fig. 2: Calcul des axes.

Corrigé

1. Le calcul de c et d ne pose pas de problème : c = 1 + i , d = i .

On obtient les centres des carrés comme milieux de sommets opposés : w = 1

2 (a + c) = 1 2 + 1

2 i.

Pour le calcul de u et v , on introduit les points B

1

avec b

1

= b + γ et C

1

avec c

1

= c + (1 − γ) (gure 2).

u = 1

2 (g + c

₁

) = 1

2 (1 + γi + 1 + i + (1 − γ)) = 3 − γ

2 + 1 + γ 2 i v = 1

2 (g + b

₁

) = 1

2 (1 + γi + 1 + γ) = 2 + γ 2 + γ

2 i 2. Calculons les axes des vecteurs − − →

U B et −−→

V W . b − u = −1 + γ

2 − 1 + γ 2 i w − v = − 1 + γ

2 + 1 − γ 2 i



 

 

⇒ i(w − v) = b − u

Les segments U B et V W sont donc orthogonaux et de même longueur.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Acomp16