MPSI1 T.D. : th´eor`eme de Cantor-Bernstein lyc´ee Chaptal
Le but est de d´emontrer le th´eor`eme de Cantor-Bernstein :
Th´eor`eme (Cantor-Bernstein) SoientEetFdes ensembles. S’il existe une injection deE dansF et une injection deF dansE, alors il existe une bijection deE surF.
1. Soient E un ensemble et G : P(E) → P(E) une application croissante (pour toutes partiesAet B deE, A⊂B⇒G(A)⊂G(B)) .
PosonsS={A∈ P(E)|A⊂G(A)} etM = ∪
A∈SA.
(a) Montrer que M ∈S.
En d´eduire queM est le plus grand ´el´ement deS.
(b) Montrer queG(M)∈S.
En d´eduire queG(M) =M. En d´eduire le
Lemme SoientEun ensemble etG:P(E)→ P(E)une application croissante .
AlorsGadmet un point fixe (il existeM ⊂Etelle queG(M) =M).
2. Revenons au th´eor`eme de Cantor-Bernstein et supposons que f est une injection deE dansF et que gest une injection deF dansE.
D´efinissons l’applicationG:P(E)→ P(E) parG(A) =E\(g(F\f(A))).
(a) Justifier queGest croissante. NotonsM un point fixe deG. V´erifier queM etR=g(F\f(M)) sont compl´ementaires dans E.
(b) Justifier que la restriction h de g `a F \f(M) est une bijection de F\f(M) surR.
(c) D´efinissons l’applicationϕdeE dansF par ϕ(x) =
f(x) six∈M
h−1(x) six /∈M .
D´emontrer que ϕest une bijection de E surF et conclure.
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